R9,,-mn DUREE
+, ist Eu n n° n
lipsoi
dant dont
Cor
Dai reetan
Che en x sonim donné =
Le c
sauf le signe du der- & équilatère ; donc le le“ #octions passe par
(2 bis)
(3 bis)
cle PM°=a—7e, valeur, on retrouve
nulle, on a un hémi- 2/yna,
(4 bis)
! à deux nappes est ême hauteur, moins ‘grand axe, et dont
lume engendré par AM dans sa rotation CUTER
P= ct PM=R,.
\ à pour équation à d'où = a — a, tes égales, et cher-
h ndres qui ont 7 pour
nn de base les di- , MP; bornons- nous
n—1), Ce cylindre
— Le la relation n
L, De) lorsqu'on n°
APPENDICE Maïs (n° 581), à la limite, M —
Ainsi la somme devient 24h. 1/2+h2,1/a,
Donc Volume = 7} (on + ; (1)
L’équation de la courbe donne
PM: = (ah) — = 20h + — = 24h + h° d'où l'on déduit pes EM, Rp 2 2 Cette valeur mise dans la formule (1) donne, toutes réductions faites, V = 7} ee = ) (2)
0 ortra TAR? hs ; n peut écrire ——— — “g ? (© Ce résultat rappelle le segment sphérique à une base,
r? 3 2 2° L'hyperbole quelconque ne à — 1 donne y = 1 (a? — «2), : a?
C'est la même valeur que pour l’hyperbole équilatère, sauf le coefficient
b re) les sections sont donc à celle de l'hyperboloïde équilatère dans le rapport
b b° R° &° donc (n° 589) V — ue (ca + + (1 bis) Pour transformer la formule
(2), il suffit de se rappeler que R désigne actuellement une ordonnée q
ui est à celle de l'hyperbole équilatère dans le rap-
b port +1 mais il faut multiplier 2° par le même l'apport,
> 3R- b° 72 RAR? D? 7h:
Donc on a aussi V — QU TS “1° x» Ce qui correspond à l'énoncé.
TR? b° 7 13 R° le segment à une base d'ellipsoïde — TE ‘ re = Th, — (or — =) 2 ad a G
Remarque, Sans recourir à une sommation, on peut obtenir Je volume de l'ellipsoïde et des hyperboloïdes,
Proposition XIII, — Théorème.
595, Un segment sphérique Quelconque est équivalent au segment correspondant du cylindre circonscrit à la Sphère, moins le tronc du cône à deux nappes dont le sommet est au centre de la sphère, et qui a mêmes bases que le cylindre.
Considérons un cercle et le carré circonscrit,
Dans la rotation autour de AA', le demi-cercle ABA' engendre la sphère, le rectangle ADRA' le cylindre, et la diagonale DR’ un cône à deux nappes,
Cherchons le volume du segment sphérique engendré par OBMP, Divisons OP en % parties égales : le segment sphérique est la limite vers laquelle tend la somme des cylindres que forment les rectangles construits sur les diverses ordonnées CF, CF, etc, Or dans le cercle on a : a+ y —=a (no 513), ou = —-a; donc Ck= OC*; mais OC— CE; donc CF? = q2 — CE},
Le cylindre qui a CF pour rayon égale T.CF® XX OC = Ta? X OC — nCE? X OC,
Ainsi le cylindre engendré par OCFJ égale le cylindre OCGB, moins le cylindre formé par OCEH. De même le cylindre qui a C'F' pour rayon égale RCFEX CC = Ta X CC — RCE: X CC", et ainsi des antres.
Mais quand n croît indéfiniment, la somme
des cylindres TCE* X OC + TUE: x CC’, ete.
tend vers le cône engendré par OPN (no 583):
et les cylindres Ta X OC, ma: x C0’, ete.,
ont pour somme le cylindre engendré par
OBLP. Donc le segment sphérique formé par
OBMP est équivalent au Cylindre OBLP, moins
le cône ONP, L'hémisphère BAB' égale le Cylindre BDB'D'
moins le cône DOD', égale
Ta°,i — Ta? 2 À ra UE — 7 Fe nee 8 3
De même le segment sphérique à une base MAM' égale le cylindre LDL/D' moins le tronc de cône NDN D’.
En exprimant les volumes qu Cylindre et du cône ou au tronc de cône en fonction de a et de la hauteur du segment, on arrive aux formules déjà données ; il en est de même pour les hyperboloïdes.
On sait que la zone formée par BM égale la surface cylindrique engendrée par BT, (n° 464) ; on peut ajouter que la base qu segment égale celle du cylindre moins la section Correspondante faite dans le cône, car TPM° — RPLE— PNe; et de plus le triangle DOR et Je demi-cercle engendrent, par leur rotation autour de AA’, des volumes équivalents, et dont les segments Correspondants sont aussi équivalents,
Proposition XIV. — Théorème,
596. L'hyperboloïide à une nappe est équivalent au cylindre de même hauteur qui a pour rayon le demi-axe transverse, plus le cône asymptote de même hauteur.
Soit l'hyperbole équilatére AM tournant avec l’asymptote ON autour de OP,
Le cylindre dont le rayon —CE à pour volume RCE? , OC; mais généralement (no 575) on a æ?— = a, onu CE'—= a + OC!; donc cylindre RCE:,00 = cylindre Ta,.OÙ+ cylindre +xO0c, OC,
Or OC=CD; donc nCE*.00=—=ma°, 09+ n0D, 00.
De imêine xFH: FC = Ta, FC + rFG:, FC; car dans ce cas U=OF=F(G.
Et le dernier on xPM:, PV— TA, PV + TPN:,PV.
poin arit] St poin côtés
JCGB, moins le cylindre rayon égale insi des autres,
ylindre LDL'D' moins le
1 du tronc de cône en formules déjà données ;
indrique engendrée par gale celle du cylindre TPM? = TPI:— xpN: ;
, par leur rotation auts Correspondants sont
lindre de même naure asSymptote de même
Dte ON autour de OP.
C; mais généralement
rOC?, OC,
CAS y—=OF=FG.
La première partie égale RA*.OP, et la seconde, à la limite, égale le cône engendré par PON ; donc...
Remarque, Le volume engendré par NOAM est équivalent au Cylindre engendré par POAL.
Lorsque l'hyperbole n'est point équilatère, on obtient le même résultat, car
à y° da? = 3 —
l'équation = 1, donne A Q? +-- Us CE CO:
b* b° b° co AR OB b CO: b: — a — RS nn — ct — — ‘ot D?= — ,Co:
Der tre OA a’ CD: gs d'où CD pr*
Donc encore CE:— & + CD*, etc... On procède d'une Manicre analogue pour traiter directement l'ellipsoïde et l'hyperboloïde à Aux nappes,
597. Scolie. Sur deux axes donnés a ct b, construisons une ellipse et deux hyperboles Conjuguées, c'est-à-dire telles que l'axe transverse de l’une soit l'axe non transverse de l'autre, et réciproquement : les diagonales du rectangle des axes sont les asyimptotes des deux hyperboles,
Si la figure opère une rotation autour de OX, on obtiendra les divers Corps étudiés précédemment, Désignons par segment MPM'P' le corps engendré par cette surface; nous aurons :
Segment d’ellipsoïde mPm P'= cylindre ro: PP — tronc de cône NPN'P’, Segment d'hyperboloïde à unenappe LP[,'P'— Rb*, PP + trone de côneNPN'P’, Segment d'hyperboloïde à deux nappes MPM P°= tronc de cône NPN'P'— mp PP’,
La méthode par sommation s'applique directement et sans difficulté, même lorsque les Corps ci-dessus ont trois axes inégaux, ot que les bases des segments sont obliques par rapport à Chaque axe; néanmoins le théorème relatif au rap- Port Constant entre les sections CorTespondantes (nos 588 Ct 559) à son utilité, Car il permet de se borner, dans une exposition élémentaire, au Cas le plus Simple ; le résultat est ensuite affecté d'un coefficient convenable, Employé de tout temps pour l’ellipsoïde, ce théorème ne l'était point pour 16 autres Corps, Car les hyperboloïdes Cquilatéres n'étaient point donnés par les méthodes ordinaires,
