S IL. — CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES PLANES

598, Le centre des moyennes distances de plusieurs points d'un plan est un point tel que sa distance à uno droite quelconque de ce plan est la moyenne arithmétique des distances des divers points donnés à la même droite,

Soient les points À, B. C, D, et ay une droite quelconque, Joignons jes points donnés deux à deux, menons les ordonnées du point milieu des divers côtés et des sommets du polygone, Dans les divers tr'apézes formés , on à :

a+ bd b+e ta = d+u Lin f= —— hi = = © 2 2 2 mn

24 + 2b +- 96 + 9q d'où e+f+h+i—=" 9 ‘ = 0 ++ c++

Mais le périmètre EFHI est moindre que celui de ABCD, car EF est EB<+-BF, etc,; donc en opérant indéfiniment d'une manière analogue, le polygone formé en joignant deux à deux les milieux du précédent se réduit à un point M; et 4 fois l’ordonnée égale la somme des 4 ordonnées du poly- = a+b+c+d gone primitif, ou m—= 2 M est le centre des moyennes distances des points donnés.

Pour une deuxième droite, æ'y par exemple, en joignant deux à deux les milieux des côtés adjacents, on arrive nécessairement au même point M; donc : 1 1 A+V+c+d pour une droite quelconque æy,ona m—=—— Sy rsps

D'après des considérations développées dans les traités de mécanique, le centre des moyennes distances de tous les points du périmètre d'une figure plane est appelé centre de gravité du périmètre (nous le désignerons par g); et le centre des moyeñhnes distances des divers points d’une surface plane limitée est nommé centre de gravité de la surface (ce poiut est désigné ordinairement par G).

599. Le centre de gravité d'une droite est au milieu de sa longueur. |

Les points g et G se trouvent sur les divers axes de symétrie d'une figure | donnée; par suite, ils sont au centre de la courbe (n° 480), ou au centre de |} figure dans les polygones réguliers. |

Dans le triangle, g est aucentre du cercle inscrit dans le triangle formé en | joignant deux à deux les milieux des côtés du triangle primitif, et G& est au poini de concours des médianes du triangle donné,

Dans le trapèze, G est sur la droite qui joint les milieux des côtés paral

lèles, et l'on à = S, on #5 y BED

Pour l'arc de cercle, g est sur le rayon perpendiculaire à la corde, et en rŒ