CRIE
‘elui de ABCD, car EF est BF, etc,; donc en opérant init d'une manière analogue, le formé en joignant deux à milieux du précédent se réduit nt M; et 4 fois l'ordonnée »2 omme des 4 ordonnées du polyatb+ct+d aitif, ou m— :
centre des moyennes distances s donnés. ine deuxième droite, æy par en joignant deux à deux les les côtés adjacents, on arrive ement au même point M; donc Ho to +d es traités de mécanique, le ts du périmètre d'une figure ous le désignerons par g); et s d’une surface plane limitée ut est désigné ordinairement
ilieu de sa longucur, Axes de symétrie d'une figure c (n° 480), ou au centre de
‘rit dans le triangle formé en igle primitif, et G est au point
les milieux des côtés paral
iculaire à la corde, et en "
ueur de l'arc par 8,et la «is
APPENDICE 253 tance du centre à 1a Corde par p, on a 0g = 7° quand l'arc égale une demt-
circonférence, Og == cu
Dans le secteur circulaire 0G=*, 5
o 8 : 4r Dans le demi - cercle O0G = Dans le segment à une base O0G—— EE 6 (sr— cp
Proposition XV. — Théorèmes de Guldin.
600, 10 La surface engendrée par le périmètre d'une Jigure plane dans sa révolution compiète autour d'un axe situé dans s0n plan, égale le périmètre mutliplié par ta circonférence que décrit le centre de gravité de ce périmitre.
Soit la figure plane MN complétement située d'un même côté de l'axe; divi- SOns le périmètre p en n parties égales sensiblement rectilignes; menons les ordonnées des milieux de ces » parties égales, ainsi que l’ordonnée 4 du point g.
in 1 BC— 7 etengendre la surface convexe d’un tronc
A os ) : :
de cône; cette surface = 27y, CB — 27 y, È ; de N
nn
même, surface engendrée par CE—97y : Le ete, NT n pl : ñ D ‘lil
Donc la surface totale = 27 (y + + y +...) 2 | HEC Pa
Se. PP n ÿ y vz
ÆYHYy..
Mais 2 . é —d ; donc, surface de révolution —= p.2Trd.
Le tore est le corps engendré par un cercie qui tourne autour d’un axe situé dens son plan: soit 4 la distance du centre à l'axe, et soit R le rayon du cercle;
faut au moins que d—R,
Surface du tore = 27R. 274 = 47° GR,
601, 20 Le volume d'un Corps de révolution égale la surface plane génératrice Mmullipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette surface,
Dans la figure MN, considérons un élément de la surface, un carré dont le côté BB' ou & est parallèle à l'axe, La distance OP de son
HB +- HO
centre:à AA’ — ; dans la rotation,
le carré engendre un volume qui est la différence des deux cylindres qui ont HH' ou & pour hauteur, et HB et HC pour rayons res- D ifs,
: le volume formé par l'élément BCB'C' - SH" .@—n0H,a = 7 a (BH° — CH2) ;
sais __BH°— CH: = (BH + CH) (BH — CH) —2.0P, a,
Done V="ña.20P, ou «.27. OP. Il en serait de même pour tous les Carrés que des séries, de parallèles équidistantes formeraient en nombre n dans la surface MN. Le volume engendré égale donc «4?,27 X par la somme des n lignes telles que OP; mais la somme de ces lignes—n,.d (n° 598); donc :
Volume = a? ,2,n,.4 ou na, 24 = Surface génératrice X 974, car na” tend vers la surface MN si n croît indéfiniment.
Le volume du tore = %R°.2%d—2T°4R2 Donc.
602. Scolie. Lorsque la rotation correspond à une quantité angulair. lonnée, FU XX 1 bre de é À il faut remplacer la circonférence 2x4 par l'arc décrit 2 em 1e Open, (
Les théorèmes de Guldin peuvent être généralisés :
Lorsqu'une surface se meut de manière qu’elle reste constmment normale c: la courbe que décrit son centre de gravité, !° volume s'obtient en multipliant le surface génératrice par la ligne que décrit le point G ; et la surface égale le périmètre multiplié par La courhe ae décrit le point g,
Proposition XV4. -— "Théorème,
603. La parallèle aux génératrices L'un tronc cylindrique droit, menée par le centre de gravité du périmètre de 14 base, est la moyenne arithmétique des génératrices du tronc.
La parallèle aux génératrices, menée par le centre de gravité de la base, est la moyenne arithmétique des parallèles aux génératrices menées par les divers points de la base.
Soient LT l'intersection des deux plans qui limitent le tronc cylindrique, g le centre de gravité du
? périmètre, gg! ou 4 la parallèle aux génératrices, Par les diverses génératrices et par gg" ou à , Menons des
plans perpendiculaires à LT'; les droites œ, æhn C,
sont parallèles, et il en est de même de BE, B'E/, g'o;
donc on a les rapports égaux :
——» etc,
' : YVES d Et d'après une propriété connue des rapports égaux se = —
