AC + 2AC+2EF + ET) = (AC-HAGIHEF

donc surface ACHFE=— © (AC-+A4HI-+A4GI+ EF) == 2 CAC + 4HG+ EF) = A7 + 4Y2 + ya) De même surface EFMN = ô (us + Aus +ys) MNPQ = a (Us + A4Y6 + y)

PQDB = (ur + dus + y) Donc surface totale ACDB = Lui + vo + 2 Cu + Ys + V5) + A (Ya + Vs + Ve +8) ]

De là la règle suivante : 1 faut diviser la projection de ta courbe en un nombre pair de parties égales ; à la somme des ordonneées extrêmes, ajouter le double de la somme des autres ordonnées de rang impair, plus le quadruple de la somme des ordonnées de rang pair, et multiplier par le tiers de la distance de deux ordonnées consécutives. En représentant par E la somme des ordonnées extrêmes, par I la somme des autres ordonnées de rang impair, et par P celles des ordonnées de rang pair, on écrit :

607. Formule Poncelet, Divisons la projection de la courbe en un nombre pair de parties égales ; par les points B, D, etc., menons des tangentes limitées aux ordonnées voisines; à l’intérieur menons AB, et joignons les extrémités des ordonnées de deux en deux ; Sauf pour y3 et y9. La surface à évaluer est comprise entre la somme des trapèzes inscrits et celle des circonscrits. On peut prendre la demi-somme de ces surfaces comme mesure de la surface donnée, Or les aires des trapèzes inscrits sont :

us PQ, (eh) Ennn BG

Et la somme est V1 + Ya Y8 + V9 d à Ga GE ve) + (ete) + PT ; Ajoutons et retranchons + et la somme devient :

aroauinn +nte —#h#u | =a(2P+ —E )

en représentant par P la somme des ordonnées de rang pair, par E la somme

>, On à (n° 562) 2/3 du parallélogramme

CFE =(AC+EF)d= r) —Ÿ(AC-+A4GI+ EF) À (AC A4HT+4GT+ EF)

ction de la courbe en un nées extrêmes, ajouter le pair, plus le quadruple 27 par le tiers de la dispar E la somme des or- 8 de rang impair, et par

ir de parties égales ; par nenons des tangentes livoisines; à l’intérieur 18 les extrémités des or- IX, Sauf pour 73 et y9.

r est comprise entre la nscrits et celle des cirndre la demi-somme de ure de la surface donnée, s inscrits sont :

=a(m+Pir)

j pair, par E la somme

des deux ordonnées extrêmes , et par E' 1 dernière vräonnée, La somme des trapèzes extérieurs égale &, 2P, La demi-somme des deux groupes

=1/ta(2r+ FE )+arm=a(ap+5#)

Ainsi, au double des ordonnées de rang pair, on ajoute le quart de la somme des ordonnées extrêmes, on en soustrait le quart des ordonnées voisines, et le taut doit être multiplié par la distance de deux ordonnées consécutives.

La formule Poncelet est d'un emploi plus facile que la formule Simpson, et donne ordinairement une approximation plus grande.

Au demi-segment AMP d'hyperbole équilatère, apbliquons les deux formules, en supposant AO = q = 10, ct OP ou æ—920, En divisant AP en 10 parties égales, et calculant les ordonnées, on trouve que MP ou la 11— 17,320, celle du point A est nulle, L’aire Calculée est :

à somme de la seconde et de l'avant.

Par la formule Simpson, ,,,,, +... 106,994 3 Par la formule Poncelet,.,,,,, + + 107,090 1

Dans le cas étudié, la valeur réelle est 107,352 8: la formule Poncelet donne ce résultat à 408 près; en prenant un plus grand nombre d’ordonnées, on obtiendrait encore une plus grande approximation.

La formule Poncelet a été modifiée par divers auteurs; on pose par exemple :

Avec les données ci-dessus, on trouve 107,375 15, valeur beaucoup plus approchée que les deux premières,

608, Évaluation approximative des volumes.

Pour évaluer approximativement le volume des Corps, on détermine des sections équidistantes, puis on applique les formules Simpson ou Poncelet, en remplaçant les ordonnées U1, V2, etc., par les aires des diverses sections.

La formule Simpson, lorsqu'on ne considère

F : l que trois ordonnées, se réduit à . C1 +49 + Y3)

h ou 6 Ci + V2 + ya). Et quand on l’applique

\ aux volumes ayant pour bases extrêmes Bet B’, et S pour section équidistante, on a

Cette formule, dont un ingénieur civil, M. Sergent, s'est fait le propagateur, donne exactement le volume de tous les Corps dont les sections peuvent être exprimées par une équation du troisième degré à une inconnue,

On peut la vérifier directement pour les corps suivants :

ë ; ' h ' T 3 19 Cylindre et prisme s Car B=RB — S; dans ce cas a B+ B “+ 48) = Bp,

20 Prisme triangulaire, placé sur une des faces latérales, car

-» CD X NO U B/ v= 2x — X AC ou AC> CD <5=—

PS on SE

27e. Ares DDR ag ge tn

258 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE Or la base B' est nulle, $ =; ; donc 48 = 2 simple de Simpson

h Bh levient : (B+9%B) =" devient A ) 2

3 Corps limité par un rectangle ACA'D', deux triangles ACD et DOD', et une surface gauche DAA'D', engendrée par une droite qui s'appuie sur DD’ et

’ , CD Xh AA en restant parallile au plan DCD. Le volume de ce corps égale D : =

Bh ., nr: En construisant des prismes sur les diverses sections, ou peut opérer

comme au n° 582, On a souvent à considérer de tels corps dans le calcul des terrassements, 40 Pyramide et cône; la section est le quart de B ; on a donc

h Bh TR:

5 B)=—- air 6 (B<+B) 3 ou 3 a —+- 8 50 Troncs de pyramide ct de’cône; ce dernier a pour section % ( B kr) ainsi 4$=T(R?+2Rr+7r); donc a CB + B' +48) = î (2R°+-2Rr +272)

: . CR+Rr+ 7)

60 Scygment quelconque d'ellipsoïde ou d'} ’Derboloïde; ces corps sont équivalents à la somme ou à la différence d’un Cylindre et d'un tronc d ne (nos 59£ et 596)... Dans la sphère et dans l'ellipsoïde, 1&s bases B et B' sont nulles...

7° Segment quelconque de Paraboloïde ; la section est la demi-somme des bases, comme ci-dessus, 20 et 30,

8° Corps ayant deux bases planes et Paralle!rs, mais quelconques, et pour faces latérales des polygones quelconques, ou ia surface gauche définie précédemment, 3°; car on peut le décomposer en prismes, prisme placé sur une des faces latérales, pyramide ou autre corps étudié ci-dessus,

609, Volume des tonneaux. Les tonneaux ont une forme ‘* » variable pour qu'une même formule puisse convenir à tous les cas, Soit lon ur intéricure du tonneau, D le grand diamètre ou diamètre du à le dia-

mètre du fond ou jable, 1° Si l’on considérait le tonnean comme la réunion de deux troncs de cônes en négligeant la courbure des douves, on aurait :

V = 1/12 (D*+- 4 + Da) = 0,26181 (D° +- 4? + Da) @

simple de Simpson

ngles ACD et DOD', et ui s'appuie sur DD e

DOD'X h corps égale 9

2ctions, ou peut opérer orps dans le calcul des

donc

air)

section r( 9

Te (2Re + 2Rr +272)

ces corps sont équivatronc d ne (nos 59£ et B sont nulles...

demi-somme des bases,

quelconques, et pour

gauche définie précésme placé sur une des

ne ‘*" » variable pour it à lon ur intéu Fe le dia-

uX {rONCS de cones , en

+ Da) (1)

2° Le résultat étant évidemment trop faible, on remplace le produit D4 par D°, et l'on obtient la formule anglaise d'Oughtred :

V=1/5omt(2D:+ 41) = 0,26187 (2D:+- 4°) (2)

C'est à cette môm, lormule que l'on arrive, soit en considérant le tonneau

comme un segment d'ellipsoïde à deux bases (ne 593), soit en appliquant la for.

mule de Simpson au cas d'une seule section équidistante des bases (no 608),

30 SI l’on considère le tonneau comme composé de deux troncs de paraboloïdes réunis par les grandes bases, on a (no 587) :

49 D'après une instruction ministérielle de l'an VII, un tonneau peut être

calculé comme un Cylindre ayant pour hauteur la longueur Intérieure de la

futaille, et pour diamètre Je diamètre du jable augmenté des 2/3 de sa aifré-

rence avec le diamètre du bouge; ce procédé conduit à la formule empirique suivante :

V=1i/4mila+2/3(D— 4); = 1/36 (4 +-2D)::= 0,087 271(4+2D (4) 59 A cette formule ge rattache celle de Vasselon » Usitée à l'octroi de Paris ;

V= 1/4 à + 0,56 (D — 4) x = 1,52051(4+-1,2727 D): (5) 6° Citons enfin la formule de Dez, qui s'emploie beaucoup en France, et qui

s'accorde {l’une manière assez précise avee de nombreuses mesures effectuées par dépotement :

Remarques, 1° Si les f nds du tonneau sont elliptiques, on trouve le diamètre Qu cercle équivalent, en prenant la moyenne géométrique des deux axes de lellipse; l’ellipse du bouge est considérée Comme étant semblable à celle du

jable, et l’axe que l’on Mesure nu bouge permet de Calculer l'autre axe,

2° La longueur intérieure d'u: tonneau se mesure pratiquement en déduisant de la longueur totale les saill'os des douves, plus los Épaisseurs des fonds ; l'épaisseur du fond varie de 11 à 3 illimètres, selon la grandeur de la pièce : en général, cette épaisseur peut { ostimée le 1/40 de la longueur totale,

3° Les mesures linéaires de 14 longueur les diamètres ne peuvent s'effec tuer que jusqu'aux millimètres ; d'où il su! l’on ne peut guère compter que sur les trois premiers chiffres du volume »,D e les diamètres ne sont expri-

més que par des nombres de trois chiffres; du reste, on ne cherche générale.

ment la contenance d’un tonneau qu’à un litre près, ou même à quelques litres près.

Application comparative des formules, La pipe de 500 litres est nn tonneau qui à 1m190 de longueur intérieure, 0m798 de diamètre au bouge, et 0650 de diamètre au fond. Voici les Contenances calculées par I diverses formules

(1) Formule des troncs de cônes, ,,, litres 491,6

(2) Formule anglaise d'Oughtred =— — 628,4 (22 Formule des troncs Paraboliques , .., — 495 (4) Formule française de l'an VII. . ‘ — 528,9 (6) Formule des octrois de PAS 2 - 602) Formule de Dez.,. ,,,,, OT — 608,3 Le dépotement fait avec soin donne, , — 6500)

Lu jauge diagonate des tonneliers est une règle graduée que l'on introait dans le tonneau par la ide, jusqu’à l'extrémité opposée de l’un des fonds : au point de sortie de à jauge on lit une valeur plus ou mois approchée de la contenance qu tonneau. Tous les tonneaux géométriquement sem-

blables pouvent être évalnés avec exactitude au moyen d'une même jauge: et

dans ce cas Les diverses longueurs de la jauge sont entre elles come les racines cublques des volumes inscrits sur cette mûême jauge (no 479).

Jaugeage des tonneaux en vidange, — 1er moyen, On place le tonneau verti. calement, on perce le fond supérieur, et l' Introduit une tringle que l'on descend verticalement jusqu'au fond inférieur; cette tringle étant retirée, on voit la longueur intérieure du tonneau et la partie oc ‘upée par le liquide, A l'aide d'un ruban métrique, on mesure la circonférence extérieure du tonheau au niveau du liquide; on en déduit le diamètre extérieur, que !

l'on diminue de 4 centimètres pour les épaisseurs des douves, Enfin on mesure l(

diamètre du fond, et l'on évalue Comme tronc de cône la partie vide ou pleine qui est moindre que la moitié du tonneau,

2° moyen, On établit le tonneau horizontalement, en dressant les fonds au fl à plomb; on descend verticalement par la bonde une tringle qui donne le diamètre du bouge et la hauteur du liquide, La partie vide ou pleine, qui est moindre que la moitié du tonneau » st évaluée par la formule empirique suivante :

k étant la plus petite partie du diamètre vertical, Nous supposons, et c'est le ‘as ordinaire, que la surface liquide atteint les deux fonds.

D'après des expériences faites, si l'on divise en 10 parties égales le diamètre vertical de chaque fond d'un tonneau horizontal, et si l'on conçoit des plans horizontaux par les points de division, les 5 tranches horizontales inférieures ont respectivement pour volume 5, 9, 11,12et 13 centièmes du volume total ; et il en est de même, dans l'ordre inverse, pour les 5 tranches supérieures, (Nous avons emprunté une partie de ces renseignements et de ceux qui suivent au Traité de métrage de M. Sergent.)

610, Autres évaluations. Le broc est assimilé à un tonneau qui aurait pour diamètre d des fonds la moyenne arithmétique des diamètres supérieur et inférieur, et l’on applique ordinairement la formule française de l'an VII (no 609, 40),

On appliquerait cette même formule pour la mesure d'un Jour à chaux ovoïde.

Les chaudières sphériques ellipsoïdes, pa raboloïdes, hyperboloïdes, peuvent s'évaluer d'après les propriétés d'équivalence de ces corps avec des cylindres ou des troncs de cônes (nos 586 à 597), ou l’une des formules Simpson et Poncelct (nos 606, 607, 608),

Les cuviers à base circulaire ou elliptique sont de simples troncs de cônes.

Les foudres sont de grands tonneaux qui peuvent contenir jusqu'à 40, 50 et 60 kilolitres ou mètres cubes; pour leur donner plus de solidité, on remplace les fonds plats par des fonds concaves, Si l'on appelle 2 la distance des fonds à leurs naissances, L'la distance des fonds à leurs sommets, d le diamètre intérieur du foudre à Chaque extrémité, et D le grand diamètre, on a :

V—0,1309 [2 (4D°— q:) + 314: ] Les tas de pierre ou de sable, les fossés, les tombereaur, brouettes , Civières,

dauges, et autres corps analogues, s'évaluent exactement par la formule de Simpson : -

1/6 (B+B' +48) Bet B' étant les bases parallèles, X la hauteur, et S unc section équidistante des bases,

Les bois en grume sont assimilés à des troncs de cônes, et peuvent s'évaluer

n d'une même jauge: et les comme les racines 479),

1 place le tonneau verti.

it une tringle que l'on ringle étant retirée, on occupée par le liquide, ence extérieure du tonextérieur, que l'on dies, Enfin on mesure le la partie vide ou pleine

1 dressant les fonds au ne tringle qui donne le vide ou pleine, qui est ue empirique suivante :

s Supposons, et c'est le ds, ‘ties égales le diamètre l'on conçoit des plans orizontales inférieures bmes du volume total :

tranches supérieures, et de ceux qui suivent

aneau qui aurait pour tres supérieur et inféde l'an VIL (no 609, 40), > d'un four à chaux

yperboloïdes, peuvent avec des cylindres ou s Simpson et Poncelct

les troncs de cônes.

enir jusqu'à 40, 50 et solidité, on remplace distance des fonds à s, d le diamètre intétre, on a :

:, brouettes , civières, par la formule de

> section équidistante

et peuvent s'évaluer

par la formule cl- dessus; mais pour ne pas compter l'écorce et l'aubier, qui l'entrent pas dans les char pentes, on mesure la circonférence C du milieu pardessus l'écorce, et ln longueur { de la pièce , et l'on pose V = 0,079 58 C2

Les droits d'octroi sur le bois de Charpente se palent d que l'on peut tirer du bots en grume; il est d'usage de prendre le diamètre moyen 4, qui est la demi-somme des diamètres extrêmes, comme diagonale de la pièce équarrie; le volume de cette dernière est donnée par la formule :

Ce volume prismatiqne est nn peu moindre «

d'un tronc de Pyramide; de même le

après la pièce dquarrie

iue le volume réel , qui est celui

volume cylindrique que l'on prendrait sur la section moyenne d'un morceau de bois en grume, est moindre que le vo-

lume réel, qui est celui d'un tronc de Cône ; mais dans tous les cas relatifs aux pièces de bois, cette différence est négligeable,

Le tonnage ou Jtugeage d'un bateau se fait par l'évalu l'eau déplacée par suite de la charge : on multiplie l'augmentation du tirant d'eau par la longueur et par la largeur, réduites à leur valeur moyenne d'après les usages établis, Le tirant d'eau à Charge comptète va Jjusqu’au-dessus du

blat-bord, moins un décimètre, — (On trouvera d'autres détails intéressants dans le Traité de Métrage de Sergent.)

ation du volume de