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te anse de panier à cinq "la demi-circonférence dé- 24 on 5 parties égales, , mctnor CI parallèle au mencr des lignes respecti- H ét DIT, et par M la paqui détermine les deux au-
des triangles semblables, = EM; FM = F8,
anière analogue jour une ais alors on se donne deux
[UC prenant le nom de la 160, deml-ellips, are de
Aeda-droits, Le plan hori- 2 HG HOMME plan des nœis- #b apparente, est appelée
ulée par les murs ”2 face
16 aupéricure qu'aux nais- 4 dos imagonnerices de la > ouvérture,
“ par des pierres taillées re lmpair,
nt Hinités par une courbe tre ni l'épaisseur de la
de l'élévation, et C la
deml-circonférence ; dans de FO, Lorsque la montée surbaiaude ; on peut alors ur romplacée par l'anse la tallle des voussoirs est
simplifiée ; un même Patron sert pour ceux qui appartiennent
et un second pour ceux du grand arc, L'anse à 5 centres n'exige que trois patrons, tandis que si l'on emploie l'ellipse, les normales se coupent deux à deux en des points différents, chaque voussoir de la moitié de la voûte exige un tracé particulier, Les Ponts biais à pleincintre ont des ellipses pour arcsde tête de l'intrados; c'est une Conséquence forcée du choix de la section droite, et dans ce Cas encore, certains appareilleurs, pour simplifier leur t ‘avail, prennent pour arc de tête une courbe à plusieurs centres; mais dans les bureaux des ingénieurs, les métrés se font d’après les dessins fournis, €t tout se Calcule comme pour une cllipse,
d ; Le rapport GE de la montée à l'ouverture
détermine le genre de courbe qu'il convient d'employer : quand ce rapport est plus faible que 1/4, on fait un arc de cercle unique; dans ce Cas, le rapport peut descendre jusqu’à 1/10. Pour une même élévation totale, l’arc de cercle donne un débouché beaucoup plus grand que le plein-cintre ou l’anse de panier; il à aussi plus do hardiesse, mais les voûtes exercent de plus fortes poussées latérales contre les supports extrêmes ou culées.
La section droite des lunnels est générale.
ment elliptique ; on lui substitue parfois l'ovale, courbe formée de deux anses de panier, ou l'anse à cinq centres qui s'éloigne le moins de la forme elliptique, et qui a pour grand rayon ” pour petit rayon D ct pour rayon inoyen
V av.
Deux voûtes cylindriques ou berceaux dont les axes sont dans le même plan et qui ont même montée, se coupené suivant une ellipse, ce cas se présente dans les voûtes &'arête et dans celles en arc de cloître.
La voûte elliptique est souvent un ellipsoïde allongé; quelques voûtes
section méridienne une chaînette,
613. La chaînette est la Courbe plane que forme un fil flexible, inextensible et homogène, sous l’action de la pesanteur, lorsque ses extrémités sont fixées à deux points À et B qui n’appartiennent pas à une même verticale, ,
La courbe a un axe vertical et un sommet C,
La chaînette peut être employée avec avantage pour former un cintre d’une très-grande ouverture, ou qui a une charge considérabic à soutenir, Zondelet s'en est servi avec succès pour les grands arcs qui supportent la colonnade circulaire du dôme du Panthéon, et pour la voûte placée entre les deux coupoles du même édi-
aux deux petits arcs,
ont pour
di
H fice : le dôme extérieur est un ellipsoïde allongé, la coupole intérieure est une
u voûte sphérique ouverte à la partie supérieure, et la voûte intermédiaire a pour section méridienne une chaînette renversée ;* la largeur ou diamètre a 21m 50, et
ñ la hauteur 15m 27; les magnifiques peintures de Gros décorent cette voûte,
' Sous l’action de la pesanteur, les hamacs prennent une position d'équilibre
qui se rapporte à la chaînette, lorsque le poids est également réparti sur les cordons de suspension,
| Entre deux poteaux consécutifs, les fils télégraphiques offrent un exemple 1 de chaînette.
CE Les voiles tendues par le vent présentent une surface courbe; les auteurs ne | soint point d'accord sur la forme des sections produites dans cette surface par di des plans parallèles à la direction du vent; l'aspect de la courbe rappelle néan-
moins celui de la chaînetre,
614 L’hyperbole est rarement employée dans les constructions ; cependant les toitures coniques coupées par un mur vertical donnent une hyperbole,
F Applications de la parabole, F 615. Mouvement des projectiles, Dans le vide, un projectile lancé sous une h inclinaison quelconque décrirait une parabole; l'amplitude AB dépend de l'angle
d'inclinaison et de la force de projection, Dans l'air, la résistance du milieu 4 traversé modifie la forme de la courbe; pour une même force de projection , f l'amplitude est moindre, la trajectoire s'incline de plus en plus, et a une ver- À ticale pour asymptote,
616, Ponts suspendus, — Les câbles des ponts suspendus affectent la forme ÿ d’une parabole, ou, plus exactement, les câbles constituent une ligne brisée dont | les sommets sont sur une parabole, Lorsque le pont n'a qu'une travée, les sup-
ports des câbles se terminent ordinairement A Y au même niveau, Le sommet de la courbe est
alors au milieu de la longueur 21; pour avoir Î la longueur des cordons de suspension, il faut ! calculer les ordonnées CD, EF, etc, Or les droites DC, FE, k, qui projettent les i points de la parabole sur la tangente au sommet, sont dans le même rapport que les car- \ rés des distances de ces lignes au sommet j a : jo - AC 5 { L (no 551) ; PC = = | ll AR { AG 1 A 1 TS — +; i Mais 5 ; done S d'où D(
ï \R 5’ AR 25° h 26” 25
co
nm
‘oupole intérieure est une oûte intermédiaire a pour ou diamètre a 21m 50, et décorent cette voûte,
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istructions ; cependant les une hyperbole.
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APPENDICE 1h)
= 2 —— AK? 4 à De même, puisque AE Le AR; er et à mel d'où FE = 26 97 r 16% Puis on trouve IJ =", NM— " 25 25
AUX ordonnées ainsi calculées, on ajoute la quantité constante jusqu'au tablier qu pont, en tenant compte de 1 tablier, en vue de l'eXhausser au milicu L,
Lorsqu'il y a plusieurs travées
à Courbure qu'on donne à ce
, IS supports intermédiaires sont plus élevés que les extrêmes ; il faut déterminer la position du sommet, connaissant la longueur (1+ 7) ou à, et les hauteurs X et p',
Lorsque l'axe de la parabole \ des y, l'équation fécrit : æ? —2py. On a donc E=92p}n, y: 2ph. En divisant la première équation par la seconde, et extrayant
est sur l'axe
; : ENT L la racine carrée, on trouve : 1: = Ar d'ail. 4 E Vh te L (CU dyr. mai anne leurs 1+ 7 — d; donc = — y : =, et tiliA ; ! Va +Vr É
l'= rs ,
= Va + 270 multiplions les deux termes de chaque fraction par Vr û ù
=. UNE = h— Ve Va7 > NOUS aurons : /— 4 ARR LR —=4. ‘ Fm de \VRHVR)(VR —V nr h—h
| [nn —h même! = 4, AU ne
Sous cette dernière forme, le c
alcul de Z et de L se D'après les règleme
nts administratifs, ] le dixième de l'ouverture 27 ou d, Dans tous les cas pratique
fait plus rapidement.
a flèche AP ou J'ne doit pas dépasser S, la longueur totale qu câble est donnée avee une
PE par la formule : Longueur ee
approximation suffisante (Annales des Chemins vicinaux 1859.)
617, Raccordement des routes, des canaux , ete. Lorsque les parties rectilignes doivent être raccordces en des points également éloignés du sommet de l'angle qu'elles forment, la solution la plus simple, et la seule employée dans le tracé des Chemins de fer, est de décrire un are de cercle tangent aux deux droites, aUX points où la voie doit cesser d'être rectiligne,
Pour le raccordement à tangentes inégales, on peut employer une parabole tangente aux droites à raccorder, aux points donnés A et B, Les ouvrages spéciaux indiquent les deux tracés suivants.
1% procédé, Menons AB et joignons $S au milieu de AB; le point D milieu de $C appartient à la courbe (no 560); la droite EF Qui joint le milieu
de SB à celui de SA est tangente, Jojgnons au milieu de DB, lp
Point H, milieu de EG, appartient aussi à la parabole, etc, 2e procédé, Divisons AS et
SB en un méme nombre de parties égales
» 4 par exemple, Les droites
AL, pour aller
mai-mtxs
a er ex
he ns
obtenues en joignant les points de même cote sont des tangentes (n° 559), et
les intersections de ces tangentes donnent des points d'autant plus rapprochés que les divisions sont plus nombreuses.
Remarque. — Ce dernier procédé ne donne que de médiocres résultats sur le terrain : pour avoir une certaine approximation, il faudrait multiplier les divisions, et alors les droites se coupeéraient sous des angles trop aigus. D'ailleurs le point de concours de deux droites jalonnées ne s'obtient qu'avec peu de précision, Aujourd'hui, on emploie rarement les raccordements paraboliques dans les travaux importants : la courbure varie d’un point à l’autre, le développement de la partie curviligne est assez long à calculer, etc.; aussi les chemins de fer n’admettent que les raccordements cireulaires, Ç
Ü . ds Raccordement à tangentes inégales, au moyen de deux ares de cercle, Éle-
vons des perpendiculaires aux points À et C; prenons à volonté le rayon CE; portons cette longueur de A jusqu'en F, la perpendiculaire élevée au milieu de EF fait connaître le centre G du grand arc,
618. Tracé des courbes sur le terrain. Pôur les travaux importants, et notamment pour le tracé des chemins de fer, on construit les arcs de cercle au moyen des ordonnées sur la corde, et plus souvent encore au moyen des ordonnées sur la tangente. On prend des grandeurs égales AC, CD, etc., et on élève des perpendiculaires, sur lésquelles on porte des longueurs convenablement calculées. Des tables numériques ont été publiées, et permettent d'opérer rapidement, Pour la parabole, les ordonnées sur la tangente au sommet sont aussi calculées, mais il faut préalablement déterminer le sommet et le paramètre de la courbe,
es tangentes (n° 559), et
autant plus rapprochés
nédiocres résultats sur le idrait multiplier les diviles trop aigus, D'ailleurs ent qu'avec peu de préciments paraboliques dans
à l’autre, le développeetc.; aussi les chemins de
leux arcs de cercle, Éle-
à volonté le rayon CE; aire élevée au milieu de
aux importants, et noit les ares de cercle au rde, et plus souvent enur la tangente. On prend te., et on élève des pernm porte des longueurs tables numériques ont pérer rapidement, Pour la tangente au sommet ner le sommet et le pa-
819, Au point de vue théorique, les propriétés de la parabole (no 559) permettent de diviser, sur le terrain, une droite en parties égales,
Soit à diviser en cinq parties égales une droite AB que l’on ne peut mesurer directement, Sur une ligne indéfinie Aæ, à partir de A, portons six longueurs égales; joignons B au point H, et sur le prolongement prenons quatre segments égaux à BH; les droites qui joignent les points de même cote divisent AB en cinq parties égales. Car les points milieux C, D, etc., sont sur une parabole, tangente aux diverses droites (no 559),
Spirale d'Archimède et développante,
620. La spirut, d'Archimède est la Courbe plane décrite par un point qui s'éloigne d’un point fixe O nommé pôle, de quantités Proportionnelles aux angles que forme successivement la ligne qui le joint au point O, avec une droite fixe Ox passant par le pôle.
Autrement : La spirale d'Archimede est la courbe plane décrite par un point qui se meut d’un mouvement uniforme sur une droite, pendant que celle-ci tourne uniformément autour d'un de ses points regardé comme fixe,
Le point générateur tourne indéfiniment autour du pôle, la partie de la courbe qui correspond à une variation apgulaire de 4 droits se nomme Spire,.
On appelle TAYJON vecteur la droite qui joint le pôle à un point quelconque de la courbe, Entre deux spires consécutives, la distance mesurée sur le rayon vecteur est constante et se nomme pas de la spirale,
Pour construire la Spirale par points connaissant le pas, on divise l’espace plan compris autour du pôle en un certain nombre d’angles égaux, 8 par exemle; du pôle comme centre, avec le 1/8 du pas on décrit un arc jusqu'au second côté du 1er angle; puis #6 le rayon 2/9, un autre arc jusqu’au second côté du 2e angle, etc.; les points ainsi déterminés appartiennent à la courbe,
Le ressort moteur d’une montre offre une certaine analogie de forme avec la spirale d'Archimède ; le ressort qui fait osciller le balancier, et qu'on nomme spiral, présente avec cette courbe une ressemblance encore plus grande.
L’excentrique en cœur, employé pour transformer un mouvement circulaire continu en un mouvement rectiligne alter. natif et uniforme, est composé de deux parties de spirale d'Archimède,
Les volutes ioniques, dont chaque gjire a 4 centres, ont la forme d'une Spirale; en réalité elles se rapportent à la développante, le cercle ou la développée étant remplacé par un carré,
621. La développante de cercte est le courbe engendrée Par üñ point B qui reste fixe sur une tangente BA dont le point de contact change continuellement, de manière que ja distance du point fixe au point de contact soit constamment égale à l’espace"parconru Par le point de contact sur la Courbe, ainsi C'B =CC; C'B'= 0"O,ute,
Lme+%re met
La développante pent être considérée comme engendrée par l'extrémité d’un fil inextensible, enroulé sur la circonférence, lorsqu'on développe ce fil en le tenant constamment tendu ; deux points dunnés du fil
Ds
fl Um. décrivent des courbes parallèles, ! là Ê és Quelques ventilateurs ont des ailes courbes à dévelopî { de Si Ÿ pante de cercle; il en est de même des tympans pour 7 élever l'eau; les développantes sont parallèles, et par \ F | : suite, l'eau prise à la circonférence est déversée à l'axe
— ES n ñ \ .
us aprés avoir suivi un canal à section constante. Sauf ce
dernier exemple, on peut dire que les courbes employées dans les turbines, dans la roue Poncelet, dans la pompe centrifuge, ete, ne se rapportent rigoureusement à aucune des courbes étudiées précédemment,
Hélices et hélicoïdes *,
