LIVRE I, — LA DROITE ET LES ANGLES

égaux AB et CD sont égaux, les droites AD et BC qui forment ces angles sont parallèles, et la figure ABCD est un parallélogramme, Donc tout quadrilatère qui a.

Proposition XXVIII. — Théorème.

9%. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux,

Soit ABCD un parallélogramme quelconque, et soient AC et BD ses diagonales,

Les côtés AB et CD sont égaux comme côlés opposés d’un parallélogramme; les angles À ct B du triangle AOB sont respectivement égaux aux angles C et D du triangle COD, comme alternes- internes.

Donc les triangles AOB et COD sont égaux (ne 47, 1°), le côté OA de l'un égale OC de l’autre, OB du premier égale OD du second; ainsi le point O est le milieu des deux diagonales,

Donc les diagonales d’un parallélogramme.….

95. Réciproquement : Tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux est un parallélogramme.

Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales AC et BD se coupent en leurs milieux,

Les triangles opposés AOB et COD sont égaux comme ayant en O un angle égal compris entre des côtés respeclivement égaux ; donc l'angle » de l’un égale m' de l’autre; et les droites AB et CD qui forment ces angles sont parallèles.

De même le triangle AOD —COB; l'angle n =", et les droites AD et CB sont parallèles. Ainsi le quadrilatère ABCD est un parallélogramme,

Donc tout quadrilatère dont les diagonales….

96, Scolie. 1° Les diagonales d'un losange se coupent à angle droit.

Soit le losange ABCD; cette figure élant un parallélogramme, le point O estle milieu des deux diagonales, etles triangles DOA et DOC sont égaux comme ayant les trois côtés respectivement égaux; donc leurs angles en O sont égaux comme opposés aux côlés égaux DA et JC, et ces angles sont droits;

2° Les diagonales d'un rectangle sont égales. En effet, dans les

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triangles rectangles ABC et BCD, les angles droits B et C sont com pris entre des côtés respectivement égaux, donc ces l'iangles sont égaux, et leurs hypoténuses sont égales,

de Dans un carré, les diagonales sont égales, el elles se coupent en

; { { leurs milieux el à angle droit: car le carré est à la fois un rectanele ÿ $

el un losange,