EXERCICES SUR LE LIVRE I

Théorèmes à démontrer.

Les angles, — 1, Si deux angles adjacents sont supplémentaires, leurs bisscctrices sont perpendiculaires l’une à l'autre, et réciproquement,

2. Si l'angle des bissectrices de deux angles adjacents n'est pas droit, les côtés extérieurs ne sont pas en ligne droite,

3. Les bissectrices de deux angles opposés par le sommet sont en ligne droite,

4. Lorsque deux droites se croisent , les bissectrices des quatre angles forment deux droites perpendiculaires entre elles.

5. La distance du milieu d'une droite à un point quelconque pris sur cette droite, égale la demi-différence des distances de ce point aux extrémités de la droite.

6, La distance du milieu d'une droite à un point quelconque pris sur le prolongement de cette droite, égale la demi-somme des distances de ce point aux extrémités de la droite.

7. L'angle formé par la bissectrice d’un angle et une droite quelconque menée dans cet angle par le sommet, égale la demi - différence des angles partiels que cette droite détermine dans l'angle primitif,

8. L’angle formé par la bissectrice d'un angle et une droite quelconque menée hors de cet angle par le sommet, égale la demi-somme des angles que forme cette droite avec les côtés de l'angle primitif,

Perpendiculaires et obliques,— 9, Si l'on joint lestrois sommets d’untriangle à un point quelconque pris à l'intérieur, la somme des trois lignes intérieures ainsi tracées est comprise entre la somme et la demi-somme des trois côtés.

10. Démontrer directement que tout point pris en dehors de la perpendiculaire élevée au milieu d'une droite est inégalement distant des extrémités de cette droite,

Triangles, — 11, La hauteur d'un triangle est moindre que la demi-somme des deux côtés qui partent du même sommet.

12. La somme des trois hauteurs d’un triangle est moindre que la somme des trois côtés,

13, Une médiane quelconque d'un triangle est plus petite que la demi-somme des deux côtés adjacents,

14. La somme des trois médianes d'un triangle est comprise entre le périmètre et le demi -périmètre de ce triangle,

15. Les perpendiculaires mences aux deux côtés d'un angle, à des distances égales du sommet, se rencontrent sur la bissectrice,

16. Toute perpendiculaire à la bissectrice d'un angle rencontre les côtés à des distances égales du sommet.

17. Un triangle est isoctle lorsqu'une même droite y est à la fois médiane et hauteur, — ou bien bissectrice et hauteur, — ou bien bissectrice ct médiane,

13, — Ki deux côtés d'un triangle sont inégaux, la bissectrice ct la médiane

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