LIVRE Il, — LA CIN! SÉRENCE A

Joignons les centres A et B aux points de division des deux arcs ; les arcs pa:tiels élant égaux, ils délerminent aux centres des angles égaux (n° 106); l'angle A conüent 3 de ces angles égaux, el A l'angle B en contient 5; donc l'angle À est à l'angle B comme

est AU: =, Ainsi les deux

angles donnés sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côlés,

Cetle démonstration est applicable à tous les cas, quel que soil le rapport que l’on supposera entre les arcs.

Donc deux angles quelconques sont entre euæ …

135. Corollaires, 1° Un angle quelconque est à l'angle droil, comme l'arc compris entre les côtés de cet angle est au quadtrant ;

2° Un angle quelconque est à l'angle d'un degré, comme l'arc compris entre les côtés de cet angle est à l'arc d'un degré.

En d’autres termes, le nombre qui exprime le rapport d'un angle quelconque à l'angle d'un degré, est le même que le nombre qui exprime le rapport de l'arc compris à l'arc d’un degré,

Cest ce que l'on formule ordinairement par la proposition suivante : Un angle quelconque « pour mesure l'arc compris entre ses côlés, el décrit de son sommet avec un rayon quelconque.

Définitions.

136. On appelle angle inscrit tout angle qui a son sommet sur la circonférence, et qui est formé par deux cordes.

On appelle angle du segment un angle qui a son sommet à la circonférence, et qui est formé par une corde et une tangente.

Un angle est inscril dans un segment (n° 98) lorsqu'il a son sommet sur l'arc de ce segment, et que ses côlés passent par les extrémités de ce même arc. Le segment est alors circonserit à l'angle.

Proposition XIV. — Théorème.

137. L'angle inscrit a pour mesure la moitié de d'arc compris entre ses côtés.

Nous considèrerons trois cas :

1» Soit À un angle inscrit dont un côté AB passe par le centre. Si l'on mène le rayon OC, le triangle AOC est isocèle (n° Y)), et les angles ‘À et C sont égaux (n° 52). L'angle s, extérieur au triangle AUC, égale la somme des angles intérieurs opposés, A el C (n° 85); ainsi l'angle A esl la moité de l'angle s. Mais l’angle s a pour mesure l'arc BC; donc l'angle A a pour mesure la moitié de l'arc BC.

nat e ment emmnene |

42 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE | 20 Si le centre se trouve à l'intérieur de l'angle donné BAC, on Sc

mène un diamètre AD, qui partage cet angle en deux autres, à et r: l'ane | chacun d'eux se trouve dans le cas précédent; ainsi l'angle à a pour c'esl- } mesure la moitié de l'are BD, } 90 j A et l'angle » la moitié de Pare en le î DC; donc l'angle A, qui égale BAF À / C2 i+ 7, a pour mesure la moilié point } de l'are total BDC,

939 Enfin, si le centre est

| € / Ü en dehors de l'angle donné | 2. BAC, on mène encore le dia- :

‘ B ir DR mètre AD, et l'angle BAC 143 est égal à la différence des Pen $ "deux angles DAC et DAB; chacun d'eux rentre dans le premier cas; epire donc l'angle BAC a pour mesure la moitié de l’are DG, moins la moitié be i de l’arc BD, soit la moitié de l’are BC. BO e | Donc l'angle inscrit a pour mesure la moitié... L'a somm 138. Corollaires, 1° Tous les angles M, M', incrits dans un même (no 8Ë : segment, sont égauæ ; car lous 6nt pour mesure a pou M la moitié de l'arc du segment opposé ; lang 20 Tout anale inseril dans un demi- cercle est Dor j droil : car il a pour mesure la moitié d'une demià circonférence, où un quadrant ; Ê 30 Tout angle M inscrit dns un segment plus à = grand que le demi-cercele est aigu; et tout angle 142 \= N inscrit dans un segment plus petit que le demi- 1 AA ) du ce cercle est obtus ; AS 4° Deux angles M et N, inscrits da les deux segments déterminés e a k par une même corde BC, sont suppl'mentaires; car ils ont ensemb'e soie pour mesure la moilié de la circonférence. do D 1 gle è 139. Définitions. Un segment est dit capable d'un angle donné lors- ] A—e \ que tout angle inscrit dans ce segment est égal à l'angle donné. L’are sont ji 1h du segment est aussi appelé l'arc capable de l'angle donné. mesur ; | a pou < Proposition XV. — Théorème. i Don 140. L'angle du segment a pour mesure la moitié de l'are compris LiGE Ê entre ses côlés,

Soit ACB un angle du segment; menons le diamètre AD, L'angle BAC égale l'angle droit CAD, moins l'angle inscrit BAD on à; donc la mesure de l'angle BAC égale la moitié de Ia demi-circonférence ABD, moins la moitié de l’are BD, c'est-à-dire la moitié de Parc AGB.

Donc l'angle du segment a pour me- à vienne sure... b du seg

iné BAC, on autres, it etr:

ngle à a pour é de Pare BD, noitié de l’are e A, qui égale sure la moitié )C,

le centre est l'angle donné encore le dial'angle BAG lifférence des premier cas; oins la moitié

ins un méême , pour mesure Se ;

»mi- cercle est 5 d'une demi-

segment plus et tout angle il que le demi-

us déterminés ont ensemble

le donné lors- > donné, L’arc nné.

l'arc compris

secæment:; mele BAC égale l'angle inscrit re de l'angle demi-circonoilié de l'arc de l'arc AGB.

ta pour me-