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données, à des distances égales de ces mêmes droites, donnent en II un point équidislant de AB et de CD; un autre point G, obtenu de la même manière, achève de déterminer la bissectrice GH. — Celle construction peut se faire sans le secours du compas.

Corollaire, Étant donnée une ligne brisée convexe ABCD, formée de trois éléments, si l’on mène lus bissectrices des deux angles B et G, le point de rencontre O est équidistant des trois droites AB, BG et CD.

Scolie. Trois droites telles que AB, CD et GH, qui, prolongées convenablement, se rencontreraient en un même point, sont appelées droites concourantes. Entre deux droites données AB et CD, on peut tracer autant de droites concourantes que l’on veut; car la construc- Lion qui a donné GH peut se répéter entre AB et GIF, entre GH et CD, puis dans les nouveaux angles indéfiniment,

Les lignes ainsi oblenues div'seraient l'angle primitif en 2, 4, 8, 16, 32..., 2 parties égales, C'est le seul système de division de l'angle que

l’on puisse faire mathématiquement avec la règle et le compas. Problème VIII.

160. Trouver le chemin minimum pour aller d'un point À à un autre B en touchant une droile donnée MN. On suppose les deux points situés d'un même côlé de la droite,

Menons AA' perpendiculaire sur MN; portons DA'=DA, et menons les droites A'B et AC; la ligne brisée ACB est le chemin demandé, Pour le prouver, il suffit de faire voir que ce chemin est plus court que tout autre, AEB, par exemple.

MN est perpendiculaire au milieu de AA'; donc CA=CA',et EA=EA (n° 39); par conséquent la ligne ACB égale en longueur A'CB, et AEB équivaut à A'EB.

Mais A'CB <A'EB; donc aussi ACB <'AEB...

Scolie. À cause de MN perpendiculaire au milieu de AA, les deux parties CDA et CDA' de la figure pourraient coïncider ; donc l'angle m==r—n, Ainsi les deux parties GA et CB du chemin minimun font avec la droite MN des angles égaux. Pour lout autre chemin, AEB par exemple, les angles seraient inégaux.

Problème IX.

161. Construire un triangle dont on donne trois éléments, parmi

lesquels au moins un côlé.

Aer Cas : Étant donné un côlé a et les deux angles adjacents B et C.

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On trace une droite B'C’ égale 3 en B',et l'angle C en (?.

AB" C'est le triangle de-

mandé, ee } Remarques. 1° La somme B< C

des deux angles donnés nn poeees

doil être moindre que deux -

angles droits (n° 84),

2° Si les deux angles donnés ne sont pas adjacents au côté donné, on peut trouver Ie troisième

angle, puisqu'il est le supplément de la somme des deux autres, el on rentre ainsi dans le cas ci-dessus,

2e Cas : Étant donnés deux côtés a et b el l'angle compris C.

Où construit d'abord un angle C’ égal à l'angle \ donné C; sur les côtés de À c cel angle, on porte C'B' égal à a, el C'A' égal à b, et l'on mène A'B', qui ter- ä mine le triangle demandé,

Remarque. Dans ce Cas, le problème que soient les données,

3e Cas. £lant donnés les trois «

On trace une droite LB’ €’ égale à l’un des côt's donnés, & par exemple; des à points B' et C', avec des à rayons égaux respectivement à € et b, on décrit des arcs dont la rencontre en À’ détermine le troisième sommet du triangle,

Remarque. Pour que le problème soil possible, il faut et il le plus grand des côtés donnés soit moindre que 1 autres {n° 35),

4e Cas: Étant donnés deux côtés aet b

On construit

l'angle A’ égal à l’angle donné A:

sur l’un des côtés de cet angle, on porte une longueur \'C' égale au côté b; du point C' comme centre, avec un rayon égal au côté a, on décrit un arc, qui peul couper le côté opposé en deux points B' et B”. Il y aurail ainsi ee triangles A’B'C' et AB C', remplissant les conditions du proème,

au côlé donné a; on reproduit l'angle

est Loujours possible, quelles ôlés : a, b, ec.

mn haferemiante

ns Le CES B'

suffit que a somme des deux

el l'angle À opposé au côté a.

162, Remarque, 1 n°y aurait qu'une solution, si l’are décrit du point