AD AE DB EC AD AE

AB AC AB AC DB EC 20 Les trois proportions qui précèdent donnent aussi : AD DB AB

AË EC AC 30 La parallèle DE peut être menée en dehors du triangle, soit au delà de la base, soit au delà du sommet. Le théorème est toujours

vrai, et peut se démontrer comme dans le cas ci-dessus;

40 Si der» droiles quelconques OA et Q° son raversées par une

point Soi

le divise dans un

2 quelconque, et côté BC. I s’agit L D est, par exemueur AB, le point la longueur AC.

10 parties égales, ront sur AD, et ÿ ints de division, BC; le coté AC égales, dont 7 sur Ainsi AE sera les est les 7/10 de AB.

osition du point D

Le...

nues des proporat d’ailleurs, trou-

| triangle, soit au rème est toujours

ssUS ;

iversées par une

point, qui est aux 2 3 de chacune d'elles

séme de parallèles, AB droile sont tous dans u dants de la seconde. 1

» CD, EF, GH, les segments n même rapport avec les se ar on peut écrire (1 0G GE __OE EC OC c OA

GE OE 00 C4. 00 OO 06 où EH OP FD OÙ DD 97 0 ON OP "ONU

Proposition IV. — Théorème.

181. Toute droite qui coupe dans un même ra} rianale est parallèle au lroisième côté,

Soit DE une droite qui coupe dans un même rapport les deux côtés AB et AC du triangle A

ABC, de sorte que l'on ait DR = AE Si par le point D on menait une parallèle

à BC, cette parallèle diviscrait AC dans un

rapport égal à 1e: Or il n'ya, entre À D E

et C, qu'un seul point pour lequel le

rapport des distances aux deux points A

et C soit

: - DA Da égal au rapport Da (1° 176); donc la paral- > lèle passera nécessairement en E, et se

confondra avec DE.

Donc, toute droite qui coupe...

Scolie, La droite DE peut être

à Pintérieur ou à l'extérieur du triangle (voir no 180, 3)

Proposition V. — Théorème.

182, La droite qui joint les milieux de parallèle au troisième cûté ; Cl égale à sa moitié.

Soit DE joignant les milieux des deux côtés À AB et AC.

10 Cette droite Coupe dans un même rapport les deux côtés AB et AC: donc eHe est parallèle au Wroisième côté BC {no 181)

2° Menons EF parallèle CA et CB sont Coupés dans un même rapport (no 179); et Puisque le point E est le milieu 5 de CA, le point F est aussi le milieu de CB, Mais les droites DE et BF sont égales comme côtés opposés

S d'un parallélogramme (nos 89 et 90).

Donc, la droite qui joint les milieux...

deux côtés d'un triangle est

à AB; les deux côtés ,

Proposition VI, — Théorème, 183. Les trois médianes d'un triangle se rencontrent en un méme

> CR parlant des sommets.

Soit le triangle ABC: Considérons d’abord deux médianes BE et CD. U