LIVRE III, — FIGURES SEMBLABLES

de la première gments Correspon-

port deux côlés d’un

Dans le triangle OBC, si l'on mène la droite GF par les milieu, des côtés OB et OC, cette droite sera parallèle au côté BC, et égale à ga moilié {no 182),

De même, dans le triangle ABC, la droite DE est parallèle au côté BC, et égale à sa moitié, Donc le quadrilatère DEFG est un parallélogramme, comme ayant deux côtés égaux el parallèles, Or les diagonales d'un pérallélogramme se coupent en leurs milieux; on a donc OD = OF — FC; de même OE=O0G—=GB.

Ainsi le point O est aux 2/3 de chacune des médianes BE et CD; et la médiane qui partirait du sommet À rencontrerail aussi la médiane BE aux ?/, de cette dernière, c'est-à-dire en O.

Donc, les (rois médianes.….

Proposition VII. — Théorème.

184 La bissectrice d’un angle intérieur d’un triangle divise le côté opposé en deux parties proportionnelles auæ deux autres côtés, Soil ABC un triangle quelcon-

E que, el CM la bissectrice de l’an-

A * , .."%# gleC. Il s’agit de prouver que HT MA CA

NB CB Prolongeons AC, et menons BE parallèle à CM. Les angles e et » sont égaux comme correspondants, » el s par hypothèse, s et à comme allernes-internes ; donc e=i, le triangle BCE est

isocèle, et CB—CE.

: . = e MA CC

Or, les parallèles CM et BE donnent (n° 179): ME CE; °nrem- MA CA

plaçant CE par CB, on a MB = Cp qu'il fallait démontrer. = L > 4

Donc, la bissectrice d'un angle intérieur.

185. Scolie. Réciproquement , si l’on donne la proporlion == =

la droite CM est bissectrice de l'angle C. Car entre A et B, il n'existe qu'un point dont les distances aux deux points À et B soient entre

CA à ES

elles dans le rapport K5; et la bissectrice de l'angle C aboutit à ce 41)

point (no 176).

Proposition VIII. — Théorème.

186. La bissectrice d'un angle extérieur d'un triangle détermine, sur le prolongement du côté opposé, un point dont les distances aur

angle l'appo

On qui so

On des cô

Deu respec côlés ]

189, second

Soit Il s’agi respecl

ir les milieu, des 3C, et égale à sa

e ABC, la droite C, el égale à sa e DEFG est un yant deux côlés diagonales d'un it en leurs mi- = FC; de même

BE et CD; et la si la médiane BE

gle divise le côté ultres cûlés, ‘angle quelconséctrice de l’anprouver que CA

CB

\C, et menons M. Les angles e comme correspar hypothèse, ernes-internes ; angle BCE est 1E.

; en rem-

lémontrer,

MA CA MB CB’ et B, il n'existe B soient entre

lion

C aboutit à ce

gle détermine, s distances aur

extrémités de ce côté sont entre elle triangle.

Soit ABC un triangle quelconque, et CN la bissectrice de l'angle extérieur BCF. 11 s’agit de prouver que

NA __CA NB Ch.

Menons BE parallèle à CN.

Les angles e et » sont éga thèse, s eu à comme alte est isocèle, et CB=CE,

UX Comme correspondants, » et s par hypo rnes-internes ; donc e— ', le triangle BCE

Or, les parallèles CN et BE donnent (no 180) : Rn= CA; en rem-

plaçant CE par CB, on a Np= 504, ce qu'il fallait démontrer,

Donc, la bissectrice d'un angle extérieur...

NA CA NB CB’ la droite CN est bissectrice de l'angle extérieur BCF. Car, à droite de la ligne AB, il n'existe qu'un point dont les distances aux deux points