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diamètre "égale le produit des deux segments qu’elle détermine sur ce diamètre.
221. Scolie. Soit b une corde quelconque menée par une extrémité d'un diamètre, et soit b la projection de cette corde sur le dia
À j b'b mètre 2». Le triangle rectangle ABC donne pe (0419; 1%} d'où b1=9 rb'!.
Donc : 1° le carré d’une corde menée par une extrémité d'un diamèlre égale sa projection sur ce diamètre mullipliée par le diamètre entier ;
20 Les carrés des cordes menées par une extrémité d’un diamètre sont entre eux comme les projections de ces mêmes cordes sur le diamètre. Car si l’on appelle «’, b', c', d', les projections des cordes «&, b, e, d, sur le diamètre 2r, les carrés a, b2, «2, d:, sont entre eux comme 2ra', 2rb', 2rc', 2rd', ou simplement comme à’, b', c', d’,
3e Le carré d'une corde menée par l'extrémité d'un diamètre est au carré du diamètre, comme la projection de cette corde sur le diamètre
a? 2ra' a
est au diamètre entier. Car on a Tr} Es mi:
Proposition XXII. — Théorème,
222. Lorsque deux cordes se coupent , le produit des deux segments de l’une égale le produit des deux segments de l’autre.
Soient AB et CD deux cordes qui se coupent en O. Menons les droites AC et BD.
Les triangles AOC et BOD ont les angles A et D égaux, comme ayant même mesure.
1/9 BC; B—C pour la même raison: donc ces triangles sont semblables, et donnent la proportion : = d'où mn—rs.
Donc lorsque deux cordes se coupent.
Proposition XXIII, — Théorème.
223. Si deux sécantes partent d’un même point hors d'un cercle, le produit de la première sécante par sa partie extérieure , égale le produit de la seconde par sa partie extériewre,
détermine sur ce
1r une extrémité rde sur le dia- - (ne 242, 4°);
émilé d’un diapar le diamètre
d’un diamètre
rdes sur le dia-
des cordes «, b,
ntre eux Comme d’,
diamètre est au
sur le diamètre
deux segments qui se coupent ont les angles même mesure, ison; donc ces nent la propor-
upent.….
d'un cercle, le ieure, égale le
Soient les deux sécantes ‘1 *t OD. Menons
Les triangles AOC et Bo ont l'angle O commun, et les angles À et D égaux comme ayant même mesure, 1/2 BC; donc ces triangles sont semblables et donnent la Proportion:
a , d'où OA xO0B= OC x OD.
les droites AC et BD,
Donc si deux sécantes partent...
Si)
* Scolie, 1° La proportion ci-dessus OA OC; , donne OD “OH donc les sécantes sont entre
elles inversement comme leurs parties extérieures.
29 Si la sécante OD, tournant autour du point O, s'éloigne de plus en plus du centre, les points d’intersection C et D se rapprochent, et finissent par se confondre ; la partie extérieure devient égale à la sé Cane entière, qui est alors une tangente, Donc si une tangente et une sécante partent d’un même point hors d’un cercle, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie eætérieure; — et le carré de la langente égale le produit de la sécante enlière par sa partie extérieure,
30 Les deux théorèmes précédents peuvent être réunis en un seul énoncé : Si d’un point lite pris dans le plan d'un cercle, on mène à ce cercle une sécante quelconque , le produit des distances du point
fire aux deux points d'intersection est Constant, quelle que soit la direction de la sécante.
Proposition XXIV., — Théorème.
225. Le produit de deux côtés quelconques d'un triangle égale le carré de la bissectrice de l'angle Compris, plus le produit des deux segments que cette bissectrice détermine sur le troisième côté.
Soit ABC un triangle quelconque, et CD la bissectrice de l'angle C. Il s'agit de prouver que ab = d + mn. Circonscrivons un cercle au triangle; prolongeons la bis sectrice CD jusqu’en E, et menons AE.
Les triangles CDB et CAE sont semblables, car leurs angles en C sont égaux par B hypothèse, et les angles B et E ont même mesure, 1/2 AC. On a donc
q — fe d'où ab=d+ de.
. Mais à cause des deux cordes AB et CE qui se coupent, le produit de peut être remplacé par son égal mn (n° 222), et l’on aura ab = d: + mn Donc le produit des deux côtés queleonques...
