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226. Scolie. On peut considérer la bissectrice extérieure CD. Par une construction analogue à la précédente, on obtient deux triangles
semblables CDB et CAE, qui donnent : 9= ‘4, d'où ab=de— (2,
Puis, à cause des sécantes DB et DE, le produit de peut être remplacé par son égal mn (n° 223), et l'on a ab mn — de,
Proposition XXV. — Théorème,
227. Le produit de deux côtés quelconques d'un triangle égale la hauteur relative au troisième côté, multipliée par le diamètre du cercle circonserit.
Soit le triangle ABC, CD ou À l’une des hauteurs, et AE ou 2r le diamètre du cercle circonscrit. Il faut prouver que ab—2rh.
Menons CE. Les deux triangles CDB et ACE sont semblables, car l’un est rectangle en D, et l’autre en C (ne 138, 2), et les angles Bet E ont même mesure, 1/) AG.
On à donc :
A+ d'où ab—=92rh,
Donc le produit de deux côtés quelconques...
Proposition XXVI. —- Problème.
228. Diviser une droite donnée en moyenne el ectrême raison (c'eslà-dire en deux parties telles que l4 plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et la petite partie).
Soit AB la droite donnée; on construit le triangle rectangle ABC, en prenant BC égal à la moitié de AB; du point C on décrit l'arc BG, et du point A l'arc GD. Le point D divisera la droite AB en moyenne AB AD AD AB = En effet, prolongeons la droite AC et l'arc GB jusqu’à leur ren-
et extrême raison: et on aura
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ou À l’une des nètre du cercle 1e ab —92rh,
ngles CDB et 1 est rectangle 8, 2), et les sure, 1/2 AC.
raison (c’eslenne propor-
tangle ABC,
crit l’arc BG, en moyenne
’à leur ren-
contre en E, La tangente AB et]
ABLAB, à, AE—AB AB— AG AB AG; (( | nn
Or, par Construction, AB ==GE; ainsi AE — AB égale AG ou AD; asie EtPona: AD. DB AB __AN el AB — AG égale DB, Et l'on à : AB “XD; d'o AD =DE:
229, Scolie, Désignons AB par a, AG ou AD struction, CG — BC=S.
par æ; d’après la con-
Le triangle rectangle ABC donne AC°—AB'+ BC*
a \: COTE
ou T+S de + PACS a «a re ; es a dt jg (24 y. pd D'où +5 tive et Dm TES VE =5(—1+y5)
En effectuant les calculs, on trouve Pour x les deux valeurs :
a (0, 618...) a(—1,618...) Ainsi AD égale environ les 0,618 de a.
L'autre valeur a (— 1,618...) ou — 1,618 a, indique qu'il existe un e autre point satisfaisant à la Condition, et dont la distance au point A doit être prise en sens inverse de AD, c’est-à-dire sur la gauche du point A; cette distance est représentée par la sécante entière AE; et AB AD : ! pr nes. ru Si On la porte en AD' on aura AD =DE - = - , AB AG AB+AG En effet, la figure donne AD AD Ah Or AB+ AG égale AE ou AD’, et AE + AB égale D'B; on a donc :
