ES LIGNES

me.

ré dans un cercle

tres AC et BD perutre; les quatre anmés étant droits, la : divisée en quatre )}, et le polygone re régulier, c'est-àlans le cercle donné

et c le côté du carré + 2r; d'où

),4, 8, 16... parties re les polygones ré- ,2,eten général On gone régulier ayant par une puissance

onscrire le carré, el un nombre de cètés

BC donne V2 —=a(1,1421...)

ème.

t égal au rayon du

hexagone régulier rayons OA et OB. Il ‘angle AOB est équi-

> le 1/4 de 4 droits, donc les deux autres ble 4/3 d'angle droit, ux entre eux, chacun le droit; donc Je triaiéral,

> donné un hexagone

AD | er idees date tab

LIVRE III, — FIGURES SEMBLABLES 87 régulier, on porte le ra consécutifs,

2 Si l'on joint de deux en deux les sommets de lier, on obtient Je triangle équilatéral inscrit ACE,.

3 En subdivisant les arcs AB, BC, CD égales, on peut construire les polygones côtés.

4 On peut inscrire et ayant un nombre de côté

yon six fois comme corde, et on joint les points

l'hexagone régu-

en 2, 4, 8, 16. parties réguliers de 12, 24, 48...

circonscrire au cercle to S représenté par 3 X 9n,

234. Scolie, 1° Le triangle ABE, rectangle en À (ne 138, 2), donne (fig. ci-dessus) :

AE = BE" AB = (9792 qe = ÿye po — 9e d'où AE = »ÿ3 = y (1,732 05...)

ut polygone régulier

grand segment du

2 Le triangle rectangle ADC donne hs a 3a?

d'où k— SVT = a (0,866 02)

Proposition XXIX, — Théorème,

235, Le côté du décagone régulier inscrit égale le rayon divisé en moyenne et ectréme raison.

Soit AB le côté du décagone régulier inscrit. Menons les rayons OA et OB; puis BM bissectrice de l'angle ABO.

Dans le triangle isocèle AOB, l'angle O égale sols ou 2/5 d'angle droit; donc les deux autres angles À et B égalent chacun 4/, d'angle droit; et chaque moitié de l'angle B égale 2/5 d'angle droit,

L'angle AMB, extérieur au triangle OMB, égale 4/, d'angle droit ; ainsi le triangle ABM est isocèle ; il en est de même du triangle OMB,et l'on a : AB = BM = OM.

Dans le triangle ABO, la bissectrice BM donne (n° 184) :

__ MO OA __OM BA MA % Om MA

Donc le côté du décagone régulier inscrit égale le grand segment du rayon divisé en Moyenne et extrême raison.

236, Scolie, 1° En joignant les sommets de deux en deux, on obtient le pentagone régulier inscrit,

2° En subdivisant les arcs AP, BC, CD... en 2,4,8, 16.. égales, on obtient les polyg

. parties ones réguliers de 20, 40, 80... côtés. Dans

cette série de polygones, le nombre des côtés a pour expression générale 5 x 2», 3 Le côté du décagone régulier inscrit a pour expression

5(—1+V5 ‘) ou r(0,618 03...) (voir ne 229).

Proposition XXX. — Problème.

237. Inscrire dans un cercle donné un pentédécagone régulier, ou polygone régulier de 15 côtés.

Soit OF le rayon du cercle donné.Divisonscerayon en moyenne et extrême raison, et soit G le point de division. Du point F comme centre, avec des rayons égaux à FO et à FG, décrivons les arcs OB et GA.

L'arc FB est le 1/4 de la circonférence (n° 232), et l’arc FA en est le 1/10: Ainsi l'arc AB égale 1/g— 1/10 ou 1/3 de la circonférence. La corde AB est donc le côté du pentédécagone régulier inscrit.

238. Scolie. En subdivisant les arcs AB, BC, etc., en 2, 4, 8... parties égales, on obtient les polygones réguliers de 30, 60, 120... côtés. Ces nombres ont pour expression générale 5 x 3 x 2n,

Remarque. Le géomètre Gauss a démontré que l’on peut construire géométriquement tout polygone régulier ayant un nombre de côtés représenté par (2n+1)2n, si 2n+1 est un nombre nvemier; ainsi, indépendamment des quatre séries de polygones dot. été question ci-dessus, on peut encore inscrire les polygones 4 tés, de 257 côtés, etc., avec ceux qui en dérivent; mais les constructions sont trop laborieuses pour trouver place dans un cours élémentaire,

Proposition XXXI. — Problème,

239, Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit, et le rayon du cercle circonscrit, calculer le côté du polygone régulier inscrit d’un nombre double de côtés.

Soit AB ou a le côté donné, et »

le rayon du cercle. Si l’on mène le diamètre CG perpendiculaire à la corde AB, AC ou a’ sera le côté demandé, Il s’agit d'exprimer a’ en fonction de a et de r.

Le carré do la corde AC égale sa projection CD sur le diamètre, multipliée par le diamètre CG (ne 221 ):

réqu calc!

de c« 4o mélh laqu que rayol de lc 32, 6 circoi Si rence rimèt

ur expression géné-

xpression

:afgone régulier, ou er de 15 côtés.

rayon du cercle cerayon en moyenne n, etsoit G le point u point F , comme >s rayons égaux à crivons les arcs OB

le 1/4 de la circon- , et l'arc FA en est cABégale 1/6 —1/10 circonférence. La nc le côté du penlier inscrit.

.,en2,4, 8... par- 0, 60, 120... côtés.

4 Jn,

on peut construire n nombre de côtés re Premier; ainsi, L été question k dtés, de 257 constructions sont ilémentaire.

KI. — Problème,

w le côté d’un poascrit, et le rayon it, calculer le côté ulier inscrit d’un côlés.

e côlé donné, et »

e. Si l’on mène le pendiculaire à la a’ sera le côté ded'exprimer a' en r, corde AC égale sa le diamètre, mulètre CG (ne 221):

LIVRE III, — FIGURES SEMBLABLES aa = nt = 2r(r—5) = 272 9pg d'où a'=yÿ2r 373 Le triangle rectangle ADO donne 5 — DT ae d'où s— É Vars — as En mettant cette valeur de s dans l'expression de a’, or obtient : Et 210. Scolte. 1e Cette relation est v corde quelconque.

2° Si on suppose le rayonr égal à l'unité,

raie, même lorsque AB est une

la formule ci-dessus devient =V2— VA— a:

3 Étant donnés le rayon d'un cercle et le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, ainsi que le nombre des côtés » ON peut calculer le périmèt-e du Dolygone régulier inscrit d'un nombre double de côtés.

4 Ce problème peut être appliqué au calcul du nombre x par la méthode dite des périmètres. Car la circonférence est la limite vers laquelle tendent les périmètres des polygones réguliers inscrits, lorsque le nombre des côtés croit indéfiniment. On peut donc, pour un rayon al à l'unité, calculer le périmètre du carré inscrit, puis celui de l’octogone régulier inscrit, puis ceux des polygones réguliers de 16, 32, 64... côtés, jusqu’à ce que le périrnètre puisse être pris pour la circonférence.

Si le rayon est 1, la circonférence égale rence égale x; c’est pourquoi on se contente rimètres des polygones.

2r, et la demi- circonféde calculer les demi-pé-

Calcul du nombre »

Par la méthode des périmètres. (Méthode d’Archimède.)

(Rayon r =1 ; demi -Circonférence tr — nr.)

Nombre des côtés. Demi- périmètres,

ÉLÉMEN1S DE GÉOMÉTRIE

Proposition XXXII. — Problème.

241. Connaissant le rayon du cercle et le côté d’un polygone réqulier inscrit, calculer le côté du polygone circonserit semblable.

Soit AB ou à le côté donné, et »

le rayon OA —OB. Par le point (, milieu de l'arc ACB, menons Ja tangente EF, limitée par les prolongements des rayons OA et OP.

Le rayon OC est perpendiculaire à la tangente EF et à la corde AB (nos 120, et 111, °); ainsi ces deux droites AB et EF sont parallèles, et la droite EF ou a’ est le côté qu'il s’agit de calculer.

Les triangles EFO et ABO étan semblables, on a

(47 Gal D —=-,; d'où a = 0 S

(42 Or ss — y» a 1 &r2 — a?) d'où sn VTT as 0 T3

; ar —__ von

Don = in ps L : 1JoVar—a YAr—a

242, Scolie, 1° Cette relation est vraie, même lorsque AB est une corde quelconque.

2 Si l’on suppose le rayon r égal à l'unité, la formule ci - dessus

devient d'= ———— Vi—ca

3 Etant donnés le rayon d’un cercle et le périmètre d'un polygone régulier inscrit, ainsi que le nombre des côtés, on peut caleuler le périmètre du polygone circonserit semblable.

243, Définition. On appelle figures isopérimètres des figures dont les contours ont la même longueur, quelle que soit d’ailleurs leur forme. Un triangle, un carré, un cercle peuvent être isopérimètres.

Proposition XXXIII. — Théorème.

244, Connaissant l'apothème et le rayon d'un polygone régulier quelconque, on peut calculer l’apothème et le rayon du polygone régulier isopérimètre d'un nombre double de côtés.

Soient OH et OA l’apothème et le rayon donnés, Décrivons avec OA la circonférence circonscrite au polygone considéré, dont AB est le côté. AOB est l'angle au centre de ce polygone,

Do thème

Dar ou 7”:

Ain

nouve

Don

245, donné voit st

2 L des po d'un n SuCCegs côtés, a 8e Co ce que une ap 4 mètre

Alors le doub lui-mû

ème,

d'un polygone réquuleuler le côté du poserit semblable, a le côté donné, et »

= OB. Par le point (, re ACB, menons Ja limitée par les pros rayons OA et OB, est perpendiculaire à F'et à la corde AB 1, 5°); ainsi ces deux EF sont parallèles, ou a’ est le côté qu'il ler.

s EFO et ABO étant à a

A ar d'où d=—

lorsque AB est une

a formule ci-dessus

nètre d’un polygone on peut caleuler le

des figures dont les ailleurs leur forme, sopérimètres.

me.

» polygone régulier on du polygone ré-

. Décrivons avec OA ré, dont AB est le