Inscrire un carré dans un cercle donné

Menons deux diamètres AB, CD; perpendiculaires entre eux, et le quadrilatère ACBD sera le carré demandé. Car les arcs AC, CB, BD, DA sont égaux ; donc ACBD est un polygone régulier de 4 côtés ou un carré (270).

Corollaire. — En désignant le rayon OB par R et le côté BC du carré parCt, le triangle rectangle BOC donne

CJ = 2 R1,

d’où l’on tire

C,==Rv^.

Donc le rapport du côté du carré inscrit au rayon est égal à fa.

Problème II.

272. Inscrire dans un cercle donné un hexagone régulier et un triangle équilatéral.

i° Supposons le problème résolu, et soit AB le côté de l’hexagone régulier inscrit. L’arc AB étant la sixième partie de la circonférence, l'angle au centre AOB sera la sixième partie de 4 droits, et, en prenant l’angle droit pour unité, on aura

donc la somme des deux autres angles du triangle OAB est égale à et, comme ces angles sont égaux (96), chacun d’eux

est égal à ^ donc le triangle OAB est équilatéral, et par con-

POLYGONES BÊGUL1ER$. <4^

séquent le côté de l’hexagone régulierinscril est égal au rayon.

Ainsi, pour inscrire l’hexagone régulier, on portera le rayon du cercle six fois sur la circonférence, et on joindra par des droites les points de division consécutifs.

2° L’hexagone régulier ABCDEF étant inscrit, si l’on joint les sommets de deux en deux, on a le triangle équilatéral ACE (270).

Corollaire. — Le quadrilatère OABC est un losange; donc la somme des carrés des diagonales AC, OB, est égale à la somme des carrés des quatre côtés (253), et, si on représente le rayon OA par R et le côté AC par C, , on a

d’où l'on lire et, par suite.

C1=RV'3.

ProbiEme III.

273. Inscrire dans un cercle donné un décagone régulier, puis un pentagone et un pentédécagone réguliers.

g . r i° Supposons le problème résolu,

zT ^ et soit AB le côté du décagone ré-

gulier inscrit ; l’angle au centre AOB sera la dixième partie de 4 droits, et, en prenant l’angle droit pour unité, on aura

AOB =

donc la somme des deux autres angles du triangle OAB est égale à g» et, comme ces angles sont égaux, on a

OAB =4

et

OBA = y •

Maintenant, si on mène la bissectrice BM de l’angle OBA, le triangle MOB est isocèle et OM = MB : d’ailleurs l’angle AMB

du triangle BMA est égal à donc ce triangle est aussi isocèle

et MB = AB.

Enfin les triangles OAB, BMA sont semblables comme étant équiangles; donc