PLANS PERPENDICULAIRES

dres PQRM, PQRN ; donc ces angles dièdres sont égaux, et, par conséquent, le plan PQ est perpendiculaire au plan MN.

Remarque. — Si un plan est perpendiculaire ou oblique à un autre, réciproquement cet autre est perpendiculaire ou oblique au premier. Cela résulte de l'égalité des angles dièdres opposés à l'arête (340).

355. Corollaire I. — Si deux plans MN, PQ, forment un angle dièdre PQRN qui ait pour angle plan correspondant un angle droit ABl), ces deux plans sont perpendiculaires entre eux. Car la droite AB est perpendiculaire aux deux droites BI), QR, qui passent par son pied dans le plan MN, et, par conséquent, elle est perpendiculaire à ce plan; donc le plan PQ est perpendiculaire au plan MN.

356. Corollaire II. — Si un plan MN est perpendiculaire à une droite AB située dans un plan PQ, le premier plan est perpendiculaire au second. Car le plan PQ, passant par la droite AB perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à ce plan; donc le plan MN est aussi perpendiculaire au plan PQ.

357. Corollaire III. — Si un plan MN est perpendiculaire à une droite AB, il sera aussi perpendiculaire A tout plan PQ

parallèle à AB. Car, si on mène par un point quelconque C du plan PQ une parallèle CD à la droite AB, cette parallèle sera contenue dans le plan PQ (328) et de plus elle sera perpendiculaire au plan MN (316); donc le plan PQ est perpendiculaire au plan MN, et par suite le plan plan PQ.

Corollaire IC. — Si trois droites AB, AC, AD, partant d’un même point, sont perpendiculaires entre elles, deux à deux, chacune de ces droites est perpendiculaire au plan des deux autres, et, par conséquent, les trois plans BAC, BAD, CAD, sont aussi perpendiculaires entre eux, deux à deux.

Théorème II.

358. Si deux plans MN, PQ, sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB, menée dans l’un de ces plans PQ, perpendiculairement à l'intersection QR, est aussi perpendiculaire à l’autre plan.

Par le pied B de la perpendiculaire, menons dans le plan

MN l'est aussi au 0|

MN la droite CD perpendiculaire à l'intersection QR des deux plans. Les angles dièdres PQRM, PQRN, étant égaux par hypothèse, les angles plans ABC, ABI), qui leur correspondent, le sont pareillement; donc AB est perpendiculaire sur CI> : d'ailleurs, la droite AB est aussi perpendiculaire à QR; donc AB est perpendiculaire au plan MN.

359. Remarque I. — On voit que chacun des angles dièdres droits PQRM, PQRN a pour angle plan correspondant un angle droit; donc tous les angles dièdres droits sont égaux ( 3V8 ) Un angle dièdre est aigu ou obtus selon qu’il est plus petit ou plus grand qu’un angle dièdre droit.

Remarque II. — De ce que tout angle dièdre droit a pour angle plan correspondant un angle droit, il résulte aussi que l'angle dièdre droit n’est autre que l’angle dièdre pris pour unité (351 ).

Théorème III.

300. Lorsque deux plans MN, PQ, sont perpendiculaires > entre eux, si par un point A de l'un de ces plans PQ on mène une perpendiculaire à l'autre MN, celte perpendiculaire sera contenue dans 1e premier.

Car la perpendiculaire AB, abaissée du point A sur l’intersection QR, n’est autre que la perpendiculaire ahaissée du point A sur le plan MN (358). Donc celte dernière perpendiculaire est contenue dans le plan PQ.

361. Corollaire. — Si deux plans PQ, RS, qui se coupent, sont perpendiculaires à un troisième plan MN, leur intersection AB est aussi perpendiculaire à ce troisième plan; ou, en d’autres termes, un plan MN , perpendiculaire à deux plans PQ, RS, qui se coupent, est aussi perpendiculaire (i leur intersection.

Car la perpendiculaire abaissée sur le plan MN, d’un point quelconque A de l'intersection, doit se trouver à la fois dans les deux plans PQ, RS; donc elle n’esl autre que l'intersection AB. Donc AB est perpendiculaire au plan MN.

Théorème IV.