Par une droite AB, non perpendiculaire à un plan MN

PLANS PERPENDICULAIRES. l85

on peut mener un plan perpendiculaire au premier et on n’en peut mener qu’un.

Car le plan ABCI), qui passe par AB et par la droite AC perpendiculaire au plan MN, est aussi perpendiculaire «à MN.

D’ailleurs, tout plan passant par AB et perpendiculaire au plan MN doit contenir la droite AC perpendiculaire à ce plan; donc il se confondra avec le plan ABCD. Donc par la droite AB on ne peut mener qu’un plan perpendiculaire au plan MN.

363. Remarque. — i” Lorsqu’un plan en rencontre un autre, il forme avec celui-ci deux angles dièdres adjacents dont la somme est égale à deux angles dièdres droits. Donc, si l’un des angles dièdres est droit, l'autre l’est pareillement.

a" Si deux angles dièdres adjacents valent ensemble deux angles dièdres droits, leurs faces extérieures sont sur un même plan.

On démontrerait ces propositions comme on a démontré les propositions analogues dans le premier livre (70,71).

Théorème VII.

364. Si, d’un point A de l’arête d'un angle dièdre PQMN, on élève sur chaque face une perpendiculaire dirigée^ du côté où se trouve l'autre face, C angle formé par ces deux perpendiculaires AB, AC, sera le supplément de celui qui mesure l'angle dièdre.

Car le plan BAC est perpendiculaire à la fois aux plans MN, PQ (334), et par suite à leur intersection MQ (361 ); donc l'angle EAD, formé par les intersections du plan BAC avec les plans MN, PQ, mesure l’angle dièdre MQ.

Maintenant l’angle EAD se compose de deux parties : la première EAC est un angle droit et, si on ajoute la seconde CAD à l’angle BAC, la somme BAI) est encore un angle droit; donc

EAD -f- BAC = adr.

Corollaire. — L’angle EAD qui mesure un angle dièdre PQMN et tout angle a, dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux faces de cet angle dièdre, sont égaux ou supplémentaires. Car les côtés de l’angle a sont parallèles aux côtés de l’angle BAC (318); donc ces deux angles sont égaux

l8G GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE. — LIVRE V.

ou supplémentaires (309). Dans le premier cas l’angle a est le supplément de EAD, et dans le second a est égal à cet angle.