L - -- ; ;N par le point A et parallèle à CD. Or la droite

p ! — i i— 7 AB, étant parallèle au plan PQ, est parallèle

/ c (, / à CD (327); donc AB n’est autre que l’inter-

Q section des deux plans MN et ABCD. Donc AB est située dans le plan MN.

369. Corollaire. — Si une droite rencontre un plan, elle rencontre tout plan parallèle au premier. Car, si celte droite

plans parallèles. 187

ne rencontrait pas le second plan, elle lui serait parallèle; donc elle serait contenue dans le premier, ce qui est contre l’hypothèse.

Théorème IV.

370. Si deux plans MN, PQ sont parallèles, toute droite AB perpendiculaire à l'un MN est aussi perpendiculaire à l'autre PQ.

Par le point B, où la droite AB coupe le plan PQ, je mène dans ce plan une droite quelconque BC, puis par AB et BC je fais passer un plan ABCD qui coupe MN suivant la droite AD. Alors les droites AD, BC, sont parallèles, comme intersections de deux plans parallèles par un troisième; mais AB, étant perpendiculaire au plan MN par hypothèse, l’est aussi à la droite AD et par suite à sa parallèle BC; donc AB est perpen diculaire à une droite quelconque qui passe par son pied dans le plan PQ; donc elle est perpendiculaire à ce plan.

r/tzd

Théorème V.

371. Par un point A on peut mener un plan parallèle au plan MN et on n'en peut mener qu’un.

Car, en menant la droite AB perpendiculaire au plan MN et par le point A le plan PQ, perpendiculaire à AB, PQ sera parallèle à MN.

D'ailleurs tout plan, passant parle point A et parallèle à MN, doit être perpendiculaire à AB (370); donc il se confondra avec le plan PQ. Donc par le point A on ne peut mener qu’un plan parallèle au plan MN.

Théorème VI.

372. Deux plans PQ, RS, parallèles à un troisième MN, sont parallèles.

Car, si les plans PQ, RS se rencontraient, il s’ensuivrait que, par un point de leur intersection, on pourrait mener deux plans parallèles au plan MN.

Remarque. — Il serait facile de démontrer ce théorème, en menant une droite perpendiculaire au plan MN, qui serait aussi peroendiculairc aux plans PQ, RS.

Théorème VU.

373. Si deux angles ABC, DEF, non situés dans le même plan, ont leurs côtés parallèles, les plans de ces angles sont parallèles.

Car les côtés BA, BC, respectivement paralc lèles aux côtés ED, EF, sont parallèles au plan DEF (325); donc ils sont contenus dans le plan qu’on mènerait par le point B, parallèle "F lemenl au plan DEF (368).

Donc le plan ABC est parallèle au plan DEF.

TnÊORÈME VIII.

374. Les parallèles AB, CD, comprises entre deux plans parallèles MN, PQ, sont égales.

Car le plan ABCD coupe les deux plans MN, PQ, suivant deux droites parallèles AC, BD, et, comme les droites AB, CD, sont aussi parallèles, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme; donc AB = CD.

7ji

ZjlÎ

Corollaire. — Si les droites AB, CD, étaient perpendiculaires aux deux plans, elles seraient parallèles (318). Donc deux plans parallèles sont partout également distants.

Théorème IX.

375. Deux droites AB, CD, sont coupées par trois plans parallèles MN, I’Q, BS, en parties proportionnelles.

Soient A, E, B et C, F, D, les points d’intersection des deux droites avec les trois plans; menons par le point A une parallèle à CD, qui rencontre les plans RS, PQ, aux points G, II, et par les deux droites AB, AG faisons passer un plan qui coupe RS et PQ suivant les droites parallèles BG, EH.

Dans le triangle ABG on aura ( 218 )

AE Ail EB “ HG ’

mais les droites AH, CF sont égales comme parallèles comprises entre deux plans parallèles et de même 1IG = FI); donc

AE CF rv e , c 1 EB=F1>‘ lNotes59 et 6°.]