IV. — ANGLES TRIÈDRES. ANGLES POLYÈDRES

Définitions.

376. Lorsque trois plans passent par un môme point S, si on considère seulement les trois portions indéfinies de ces

plans comprises entre les intersections SA. SB, SC, partant du point S, la figure SABC qui en résulte s’appelle angle trièdre.

Pour abréger, on dit souvent qu’«« angle trièdre est la figure formée par trois plans qui se coupent en un même point ; mais alors il faut sous-entendre qu’on considère seulement les portions indéfinies de ces plans, limitées par trois arêtes parlant du point qu’on considère.

Le point S est le sommet de l’angle trièdre; les droites SA, SB, SC, en sont les arêtes.

Les angles formés par les arêtes sont les angles plans ou les faces de l’angle trièdre ; les angles formés par les plans en sont les angles dièdres.

377. Par face on entend aussi l’un des plans qui forment l’angle trièdre.

378. Les trois faces ou angles plans et les trois angles dièdres d’un angle trièdre en sont les six éléments ou les six parties.

379. Un angle trièdre est isoèdre, lorsque deux de ses faces sont égales.

380. On appelle angle polyèdre et quelquefois angle solide la figure formée par plusieurs pians qui se coupent en un même point.

Lorsque le nombre de ces plans est le plus petit possible, c’est-à-dire lorsqu’il se réduit à trois, on vient de voir que l’angle polyèdre s’appelle angle trièdre.

D’après ce qu’on a dit pour les angles trièdres, on comprendra sans difficulté ce qu’on entend par sommet, faces ou angles plans, angles dièdres d’un angle polyèdre.

381. Un angle polyèdre est convexe , lorsqu’il est situé entièrement d'un même côté du plan de chacune de ses faces. Un angle trièdre est essentiellement convexe.

382. Deux angles polyèdres sont opposés au sommet, lorsque les arêtes de l’un sont les prolongements des arêtes de l'autre.

On dil aussi que ces angles polyèdres sont symétriques, et chacun d'eux est le symétrique de l’autre.

Conséquence. — De cette définition il résulte immédiatement : que deux angles trièdres symétriques SABC, SA'B'C', sont égaux dans toutes leurs parties. Car leurs angles plans sont égaux, comme opposés au sommet, et leurs angles dièdres sont égaux comme opposés à l'arètc.

Mais, en général, ces deux angles trièdres ne sont pas superposables. Car, si on fait pivoter l’angle trièdre SA'B'C' autour du point S, jusqu’à ce que l’angle dièdre SB’ s'applique sur son égal SB, la face B'SA' se placera sur la face BSC qui n’est pas son égale.

Toutefois, si l’angle trièdre SABC est isoèdre et qu’on ait BSA = BSC, il est facile de voir qu’en superposant SA'B'C' sur SABC, comme on vient de le faire, les deux angles trièdres coïncideront.

On verrait de même que deux angles polyèdres symétriques quelconques ont leurs angles plans et leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et qu’en général ils ne sont pas superposables.

Remarque. — Pour que deux angles polyèdres soient dits symétriques, il n’est pas nécessaire qu’ils aient la position d’angles opposés au sommet ; il suffit que leurs angles plans et leurs angles dièdres soient égaux chacun à chacun, mais disposés dans un ordre inverse.

Observation. — Au lieu de dire : V angle trièdre SABC, on dil quelquefois : le trièdre SABC.

Des angles plans et des angles dièdres d’an angle trièdre. Théorème 1.

383. Dans un angle trièdre, chaque angle plan est plus petit que la somme des deux autres.

Soit l’angle trièdre SABC et supposons que le plus grand de s ses angles plans soit ASC; je dis qu’on a

ASC < ASB BSC.

Je fais dans la face ASC l’angle CSD égal à l’angle CSB. et entre les deux arêtes SA, SC, je ^iB mène une droite quelconque AC, qui coupe SD au point D; je prends la longueur SB égale à SD et je joins le point B aux points A et C. Alors les trian-

ANGLES TRIÈDRES, ANGLES POLYÈDRES. igj

gles SDC, SBC, sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc

DC = BC

Maintenant on a

AD-f-DC < AB 4- BC,

et par conséquent

AD < AB

Ainsi, les deux côtés SA, SD, du triangle SAD sont respectivement égaux aux deux côtés SA, SB, du triangle SAB, et le troisième côté du premier triangle est plus petit que le troisième côté du second; donc on a (94)

ASD < ASB,

et, si on ajoute au premier membre l’angle DSC et au second l’angle égal BSC, on obtient '

ASC < ASB 4- BSC.

Corollaire. — Dans un angle trièdre, chaque angle plan est plus grand que la différence des deux autres.

Théorème H.

384. La somme des trois angles plans d’un angle trié dre SABC est plus petite que 4 angles droits.

Prolongeons l’arètc AS d’une longueur quelconque SD. Dans l’angle trièdre SBCD, on aura ( 383)

BSC < BSD -f- CSD,

et, si on ajoute de part et d’autre ASB -t- ASC, il vient

ASB 4- ASC 4- BSC < BSD 4 CSI> 4- ASB 4- ASC. Mais BSD -f- ASB = 2dr et CSD + ASC = adr, donc on a ASB 4- ASC 4 BSC < 4dr*

Théorème III.

385. Si du sommet d’un angle trièdre SABC on élève sur chacune des faces ASB, BSC, CSA, une perpendiculaire faisant un angle aigu avec l'arête située hors de celte face, l'angle trièdre qui a pour arêtes ces trois perpendiculaires SC' , S A', SB', et l'angle trièdre proposé sont supplémentaires. (Deux angles trièdres sont dits supplémentaires, lorsque les angles plans de chacun de ces angles trièdres sont les suppléments des angles qui mesurent les angles dièdres de l’autre.)

Car SC' est une perpendiculaire élevée d’un point de l’arête de l’angle dièdre SB sur la face ASB, du côté où se trouve l’autre face BSC, et SA' est une perpendiculaire élevée du même point sur la face BSC, du côté où se trouve l’autre face ASB; donc l’angle C'SA' est le supplément de celui qui mesure l’angle dièdre SB (364) : de même les angles C'SB', A'SB', sont respectivement les suppléments des angles qui mesurent les angles dièdres SA, SC.

Maintenant SC étant, par suite de l’hypothèse, perpendiculaire à la fois aux deux droites SA', SB', l’est aussi à la face A'SB' du second angle trièdre SA'B'C', et de plus l’angle CSC' est aigu ; de même SA et SB font respectivement des angles aigus avec SA' et SB' cl sont respectivement perpendiculaires aux faces C'SB', C'SA'; donc Tes angles plans de l’angle trièdre SABC sont aussi les suppléments des angles dièdres de SA'B'C'.

Remarque. — Les perpendiculaires SA', SB', SC' ne peuvent pas se confondre, sans quoi les trois faces de l’angle trièdre, étant perpendiculaires à une même droite, seraient dans un même plan (315).

Les droites SA', SB', SC' ne peuvent pas non plus être situées dans un même plan P; sans quoi les trois faces de l’angle trièdre SABC seraient perpendiculaires à ce plan (356), et, par suite, elles se couperaient suivant une même droite passant par le sommet S et perpendiculaire au plan P (361).

Théorème IV.

386. Dans tout angle trièdre, la somme des trois angles dièdres est compr se entre i droits et 6 droits; et le plus petit angle dièdre, augmenté de deux droits, est plus grand que la somme des deux autres.

i° Soient A, B, C les angles dièdres d’un angle trièdre quelconque, et «', b', & les faces de l’angle trièdre supplémentaire, on aura :

A = 2,lr — a'

C= 2dr— c',

d’où A + R + C = 6Jr — (n'-t-ô'-f-c).

Mais la somme a'-\-b'-\-c' est moindre que 4dr et pins grande que zéro ; donc la somme A -+- B -+- C est plus grande que 2dr et moindre que 6d\

2" Si A est le plus petit des trois angles dièdres, a' sera le

ANGLES TRIÈDRES, ANGLES POLYÈDRES. ' I Çj3

plus grand des trois angles plans de l’angle trièdrc supplémentaire et on aura

ou jJr-B + — C> 2,,r — A;

ajoutant aux deux membres A +B -t- C, il vient A -h adr > B C.

387. Remarque. — Lorsque les trois arêtes d’un angle trièdre sont perpendiculaires entre elles, deux à deux, les trois angles dièdres sont droits et on dit que l’angle trièdre est trireclangle. Il est birectangle, lorsque deux angles dièdres seulement sont droits, et rectangle, s’il n’a qu’un angle dièdre droit.

Cas d'égalité d'angles trièdres.

Théorème I.

388. Deu » angles trièdres sont égaux ou symétriques, lorsqu’ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun.

i" Soient les angles trièdres SABC, TDEF, et supposons la face ASC égale à la face DTF, l’angle dièdre SA égal à l’angle dièdre TD, l’angle dièdre SC égal à l’angle dièdre TF. Si on porte l’angle trièdre TDEF sur SABC de manière que la face

DTF coïncide avec son égale ASC, les plans DTE, FTE s’appliqueront respectivement sur les plans ASB, CSB, puisque les angles dièdres SA et TD sont égaux, ainsi que les angles dièdres SC et TF; donc les deux angles trièdres SABC, TDEF sont égaux.

2“ Soient les angles trièdres SABC, T'D’E’F', et supposons la face ASC égale à la face D'T'F', l’angle dièdre SA égal à l’angle dièdre T'D', l’angle dièdre SC égal à l’angle dièdre T'F'. Dans ce cas les angles dièdres égaux SA et T'D', SC et T'F' ne sont pas disposés de la même manière, par rapport aux faces égales ASC, D'T'F', et il n’est plus possible de superposer les angles trièdres SABC, T'D'E'F'; mais, si on porte l’angle trièdre

t<j4 GÉOMÉTRIE DANS l’ ESPACE. — LIVRE V.

T'D'E'F' sur l’angle irièdre SA'B'C', symétrique de SABC, de manière que la face D'T'F' coïncide avec son égale A'SC\ les plans D'T'E', F'T'E' s’appliqueront sur les plans A’SB', CSB'; donc les deux angles trièdres SABC, T'D'E'F', sont symétriques.

Théorème II.

389. Deux angles trièdres sont égaux ou symétriques, lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune.

i° Soient les angles trièdres SABC, TDEF, et supposons l’angle dièdre SB égal à l’angle dièdre TE, la face BSA égale à la face ETD, la face BSC égale à la face ETF. Si on porte l’angle irièdre TDEF sur SABC de manière que l’angle dièdre TE

coïncide avec son égal SB, les arêtes TD, TF, s’appliqueront respectivement sur les arêtes SA, SC, puisque les angles plans BSA et ETD sont égaux, ainsi que les angles plans BSC et ETF ; donc les angles trièdres SABC, TDEF sont égaux.

a* Si les faces égales BSA et E'T'D', BSC et E'T'F' sont inversement placées, par rapport aux angles dièdres égaux SB et T'E', le second angle trièdre peut coïncider avec l’angle Irièdre SA'B'C', symétrique de SABC; donc les angles trièdres SABC, T'D'E'F' sont symétriques.

Tiiéoréme III.

390. Deux angles trièdres sont égaux ou symétriques, lorsqu’ils ont leurs trois faces égales chacune <ï chacune.

i° Soient les angles trièdres SABC, TDEF, et supposons la face ASB égale à la face DTE, la face BSC égale à la face ETF,

la face ASC égale à la face DTF. Si l’on prend les six longueurs égales SA, SB, SC, TD, TE, TF, et qu’on mène les droites

ANGLES TRIÈDRES, ANGLES POLYÈDRES. l{)f>

AB, BC, AC, DE, EF, DF, les triangles SAB, SBC, SAC seront respectivement égaux aux triangles TDE, TEF, TDF, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc AB — DE, BC= EF, AC = DF; donc, les triangles ABC, DEF sont aussi égaux, et on a l’angle BAC égal à l’angle EDF.

Maintenant, d’un point quelconque G de l’arête SA j’élève sur SA, dans les plans SAB, SAC, les perpendiculaires GU, GK, et, comme les angles à la base, SAB, SAC, des triangles isocèles SAB, SAC, sont aigus, ces perpendiculaires rencontreront les côtés AB, AC, aux points H et K (Si); enfin je mène la droite HK.

De même, après avoir pris la longueur DL égale à AG, j’élève dans les plans TDE, TDF les droites LM, LN, perpendiculaires à l’arète TD, qui rencontrent DE, DF aux points M, N, et je mène la droite MN.

Cela posé, dans les triangles AGH, DLM, le côté AG = DL, l’angle GAH = LDM à cause de l’égalité des triangles SAB, TDE, et les angles AGH, DLM sont droits; donc ces triangles sont égaux, et par suite GH = LM, AII = DM. On verrait de même que GK = LN et que AK = DN.

Alors les triangles AIIK, DMN ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc HK = MN : par suite, les triangles GHK, LMN sont équilatéraux entre eux, et les angles HGK, MLN, qui mesurent les angles dièdres SA, TD, sont égaux. Ainsi, dans les deux angles trièdres S, T, les angles dièdres SA, TD sont égaux, et de plus ils sont compris entre deux faces égales chacune à chacune; donc ces angles trièdres sont égaux.

2“ Si les faces égales ASB et D'T'E', BSC et E'T'F' étaient inversement placées, par rapport aux faces égales ASC ei D'T'F', les deux angles trièdres SABC, T'D'E'F' seraient symétriques. [Note 6i.j

TnÊORÊME IV.

391. Deux angles trièdres S et T sont égaux ou symétriques, lorsqu’ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun.

En effet, puisque S et T ont leurs angles dièdres égaux, leurs angles trièdres supplémentaires, que je désignerai par S' et T', auront leurs faces égales chacune à chacune et par suite leurs angles dièdres égaux. Ensuite, S' et T' ayant leurs angles dièdres égaux, les angles trièdres S et T auront leurs faces égales chacune à chacune; donc les angles trièdres S et T sont égaux ou symétriques.

ig6 GÉOMÉTRIE DiJiS L’ ESPACE. LIVRE V.

Remarque. — Lorsque deux angles trièdres sont égaux, on peut reconnaître qu'aux faces égales sont opposés des angles dièdres égaux, et qu’aux angles dièdres égaux sont opposés des faces égales.

11 en est de même, lorsque les deux angles trièdres sont symétriques.

Dépendance entre deux face» d'un angle trièdre et les angles dièdres opposés.

Thêorèmb 1.

392. Dans un angle trièdre isoèdre SABC, les angles dièdres SA, SC, opposés aux faces égales BSA, BSC, sont égaux;.

Par l’arête SB et la bissectrice AD de l'angle plan ASC menons le plan BSD ; les deux angles trièdres SABD, SCBD auront leurs trois faces égales chacune à \ chacune et seront symétriques; donc l’angle dièdre SA est égal à l'angle dièdre SC.

—A Corollaire I. — De ce que les angles trièdres SABD, SCBD, sont symétriques, ils sont égaux dans toutes leurs parues. Donc, le plan BSD est perpendiculaire sur la face ASC, et il divise l’ angle dièdre ASBC en deux parties égales.

Corollaire II. — Si les trois faces d’un angle trièdre sont égales entre elles, ses trois angles dièdres sont aussi égaux entre eux.

Théorème II.

393. Si dans un angle trièdre SABC deux angles dièdres SA, SC sont égaux, les faces opposées BSC, BSA sont égales, et, par conséquent, l'angle trièdre est isoèdre.

En effet, soit SA'B'C' l’angle trièdre symétrique du premier, on aura

BSA = B' SA'.

Maintenant, si on fait pivoter l’angle trièdre SA'B'C', autour du sommet S, de manière que la face A'SC' s’applique sur son égale CSA, et que les arêtes SB, SB' soient du même côté de la face commune CSA, les plans B'SC', B'SA' s’appliqueront respectivement sur les plans BSA, BSC, puisque l’angle dièdre SC' = SC = SA et que l’angle dièdre SA' = SA = SC; donc les deux angles trièdres coïncideront, et par suite

BSC = B' SA'.

ANGLES TRIfcDRES, ANGLES POLYÈDRES. 197

Ainsi, les deux faces BSA, BSC sont égales chacune à la faccB'SA'; donc elles sont égales entre elles.

si utre démonstration. — Soient A, B, C les angles dièdres de I angle trièdre proposé, et a, b, c les faces opposées à ces angles dièdres; de même, désignons par a’, b', c' les faces de 1 angle trièdre supplémentaire du premier, qui sont les supplément*; des angles dièdres A, B, C, et par A', B', C' les angles dièdres opposés aux faces a', b', c'; enfin, supposons qu’on ait A = C. De ce que A = C, on a a' = c', et par conséquent A' = C' ; ensuite, de ce que A' = C', on a a = c, ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire. — Si les trois angles dièdres d'un angle trièdre sont égaux entre eux, les trois faces sont aussi égales entre elles.

Tüéorëne III.

394. Si dans un angle trièdre SABC deux angles dièdres SA, SC sont inégaux, au plus grand angle dièdre SA est opposée la plus grande face BSC.

Faisons l’angle dièdre DSAC égal à l’angle dièdre SC, et soit SD l’intersection du plan SADavec le plan SBC. L’angle trièdre SAI)C sera isoèdre et on aura

DSA = DSC.

Mais, dans l’angle trièdre SABD, la somme des deux faces BSD, DSA est plus grande que BSA, ainsi on a

BSD -+- DSA > BSA ;

et, en remplaçant l’angle DSA par son égal DSC, il vient

BSD DSC > BSA ou

BSC > BSA.

Corollaire. — Si dans un angle trièdre deux faces sont inégales. à la plus grande face est opposé le plus grand angle dièdre.

Des angles plans et des angles dièdres d’nn angle polyèdre.

395. La somme des angles plans d’un angle polyèdre convexe est plus petite que !\ angles droits.

Soit l’angle polyèdre convexe SABCDE. Je le coupe par un plan, qui rencontre toutes ses arêtes et détermine le polygone ABCDE, et d’un point O, pris dans l’intérieur de ce polygone, je mène aux différents sommets les droites OA, OB, OC, OD, OE.

Je forme ainsi des triangles OAB, OBC,..., qui ont chacun pour sommet le jioint O et pour base un cùlé du polygone; d'ailleurs, chaque côté du polygone sert aussi de base à un des triangles SAB, SBC,..., qui ont pour sommet commun le point S. Donc il y a autant de triangles autour du point O qu’il y en a autour du point S, et, par suite, la somme de tous les angles de ces derniers triangles est la même que celle de tous les angles des premiers.

Mais, en considérant l’angle trièdre qui a pour arêtes AB, AE, AS, puis celui qui a pour arêtes BA, BC, BS, et ainsi de suite, on aura (383)

BAE ou BAO -+- OAE < SAB 4- SAE ABO -+- OBC < SBA + SBC,

Donc, dans les triangles qui ont pour sommet le point O, la somme des angles à la base est moindre que la somme des angles à la base dans les triangles qui ont pour sommet le point S, et, par compensation, la somme des angles formés autour du point O, qui est égale à 4 droits, est plus grande que celle des angles formés autour du point S. Donc cette dernière somme est plus petite que 4 angles droits. [Note 61 .)

Théorème II.

396. La somme des angles dièdres d'un angle polyèdre convexe de n faces est plus grande que n — 2 fois 2 angles droits et moindre que n — 2 fois 6 angles droits.

Car, en menant des plans par l’une des arêtes et par chacune des arêtes des angles dièdres opposés, on décomposera l’angle polyèdre en n — 2 angles trièdres; or, la somme des angles dièdres de chaque angle trièdre est comprise entre 2 droits et 6 droits. Donc la somme des angles dièdres de tous les angles trièdres ou la somme des angles dièdres de l’angle polyèdre est comprise entre n — 2 fois 2 angles droits et n — 2 fois 6 angles droits.

TrëorRme I.

397. Si un plan MR divise un angle dièdre PQMN en deux parties égales,

i“ Tout point du plan bissecteur est également distant des deux faces de l’angle dièdre ;

2® Tout point , pris hors du plan bissecteur et dans F intérieur de l'angle dièdre, est inégalement distant de ces mêmes faces.

i° Soit le point À pris sur le plan MR; je dis que AB, perpendiculaire à MN, est égale à AC, perpendiculaire à PQ.

Car le plan ABDÇ, mené par les droites AB, AC, est perpendiculaire à la fois aux deux plans MN, PQ et par suite à leur intersection MQ, au point D; donc les angles ADB, ADC, formés par les intersections du plan ABDC avec les plans MR, MN, PQ, mesurent les angles dièdres égaux RMQN, RMQP; donc DA est la bissectrice de l’angle CÎDB, et, en vertu de la Géométrie plane, il s’ensuit que les distances AB, AC du point A aux côtés DB, DC sont égales (114).

a" Soit !e point £ situé hors du plan bissecteur; je dis que EF, perpendiculaire au plan PQ, est moindre que EB, perpendiculaire au plan MN.

Car le plan EFB coupera le plan MR suivant une droite DA, qui sera encore la bissectrice de l’angle FDB, et dans ce plan on aura