S I". - THÉORÈMES RELATIFS AU PRISME ET AU PARALLÉLIP1PÈDE

Théorème I.

409. Toute section MNOPQ, faite dans un prisme ABCDEF... par un plan parallèle à sa base ABCDE, est

égale à celte base.

; 5 Car les quadrilatères ABNM, BCON,... sont

f des parallélogrammes (367); donc les côtés

de la base et ceux de la section sont respec-

l/l "T j\l tivement égaux, et leurs angles sont aussi

MjS'M égaux chacun à chacun, comme ayant leurs

V côtés parallèles et dirigés dans le même sens (309); donc la section MNOPQ est égale à la » base ABCDE.

Corollaire. — On démontrerait de même : qu'en coupant toutes les faces latérales d'un prisme ou leurs prolongements par deux plans parallèles, on détermine des sections égales entre elles.

Donc, la portion du prisme comprise entre ces deux plans serait encore un prisme (404).

410. Définitions. — La section faite dans un prisme par un plan perpendiculaire à ses arêtes latérales est la section droite de ce prisme.

Si l’on coupe un prisme par un plan qui ne soit pas parallèle à ses bases et qui rencontre toutes ses faces latérales, la portion de ce prisme, comprise entre la section et l’une des bases, s’appelle prisme tronqué ou tronc de prisme.

Théorème II.

411. Deux prismes droits ABCDEF, A'B'C'D'E'F’ sont égaux, lorsqu’ils ont des bases égales ABC, A'B'C', et des bailleurs égales AD, A'D'.

Car, en portant le second prisme sur le premier, de manière

que la base A’ B'C coïncide avec son égale ABC, les arêtes des deux prismes coïncideront pareillement (317); donc les deux prismes sont égaux.

Remarque I. — Soient les deux prismes droits ABCDEF, A'’B"C’D"E"F", qui ont des hauteurs égales AD, A"D", et supposons que leurs bases ABC, A"B"C' soient aussi égales, comme ayant l’angle CAB égal à l’angle C''A"B'’, le côté AC égal au côté A"C", et le côté AB égal au côté A"B". Alors on ne peut plus faire coïncider les deux prismes en superposant leurs bases inférieures; mais, en retournant le second prisme et en superposant sa base supérieure D'^'F" sur la base inférieure ABC du premier, les deux prismes coïncideront encore.

Donc, dans tous les cas, deux prismes droits sont égaux, lorsqu'ils ont des bases égales et même hauteur.

Remarque II. — Pour plus de simplicité, nous avons considéré deux prismes triangulaires; mais ce qu’on vient de dire s’appliquerait sans difficulté à deux prismes droits quelconques. [Note 62.]

Théorème 111.

412. Les faces opposées d’un parallélipipède AG sont égales et parallèles.

D’abord, en vertu de la définition du parallélipipède, les bases ABCD, EFGH sont des parallélogrammes égaux dont les plans sont parallèles.

Ensuite, les côtes AB, AE de l’angle EAB sont respectivement parallèles aux côtés DC, DU de l’angle HDC, à cause des parallélogrammes ABCD, ADHE; donc déjà la face AF est parallèle à la face DG (373). D’ailleurs, les côtés de ces angles sont dirigés dans le même sens, et de plus, on a AB = DC, AE = DH; donc les deux parallélogrammes AF, DG ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc ils sont égaux (111). On verrait de même que les faces opposées AH, BG soin parallèles et égales.

Corollaire. — Dans un parallélipipède on peut prendre pour bases deux faces opposées quelconques.