ABCDE
FGHKL- 3’
ABCDE AE et, par suite, fGÏÏKL=fT
Si les hauteurs AE, FL, étaient incommensurables, on démontrerait, au moyen du raisonnement connu (175), qu’on a encore la même proportion.
Remarque. — Si on appelle dimensions d’un parallélipipède rectangle les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet, le théorème qu’on vient de démontrer pourra encore s’énoncer de cette manière : Deux parallélipipèdes rectangles , qui ont deux dimensions communes, sont entre eux comme leurs troisièmes dimensions.
aïo
Théorème II.
417. Deux parallélipipèdes rectangles P, P', de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
Soient a, b, h, les dimensions du premier parallélipipède.
lui (o’I (a»
b', h, les dimensions du second, et construisons un troisième parallélipipède rectangle ayant pour dimensions a, b', h.
Puisque les parallélipipèdes P, P", ont deux dimensions communes a, h, ils sont entre eux comme leurs troisièmes dimensions b, b' ; donc on a
De même
âr
Multipliant ces égalités membre à membre et supprimant le facteur P* commun aux deux termes du premier produit, il vient
d'ailleurs les bases B, B', des deux parallélipipèdes proposés sont entre elles comme les produits a x b, a’ x b' (185); donc on a aussi
Théorème III.
418. Deux parallélipipèdes rectangles quelconques P, P', sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs.
Soient B, A, la base et la hauteur du premier parallélipipède, B', A', la base et la hauteur du second, et supposons qu’un troisième parallélipipède rectangle P" ait pour base B et pour hauteur A'.
Les parallélipipèdes P, P", ayant même base sont entre eux comme leurs hauteurs, et les parallélipipèdes P", P', ayant même hauteur sont entre eux comme leurs bases; ainsi on a
Multipliant ces égalités membre à membre et supprimant le facteur P" commun aux deux termes du premier produit, il vient
P Bx A
Remarque I. — En désignant par a, b, les dimensions de la base B, et par a', b', celles de la base B', on aura
et, par suite.
P «XJXA P' — a' X b’ X h' '
Donc, deux parallélipipèdes rectangles sont entre eux comme les produits de leurs trois dimensions.
Remarque II. — On peut arriver autrement à cette dernière égalité et en conclure le théorème ci-dessus.
Soient
a, b, A, les dimensions du parailélipipède P, a! , b', h', les dimensions de F ;
puis concevons deux autres parallélipipèdes rectangles P", P*, et soient
a, b, h', les dimensions de P", a, b', h1, les dimensions de P"’.
On aura successivement (416)
P'~ A’’ P"- b1' P'— fl'‘
Multipliant ces trois égalités membre à membre et supprimant les facteurs P", P", communs aux deux termes du premier produit, il vient
donc les deux parallélipipèdes rectangles P, F, sont entre eux comme les produits de leurs bases « x A, a' X A' , multipliées par leurs hauteurs A, A'.
419. Un parallélipipède rectancle a pour mesure le PRO- DUIT de sa base par sa hauteur (en prenant, pour unité de volume, le cube qui a pour côté l’unité de longueur).
Soit un parallélipipède rectangle P, dont la base a pour dimensions a, A, et dont la hauteur est A, et convenons de prendre, pour unité de volume, le cube C qui a pour côté Yunité de longueur. En vertu du théorème précédent, on aura
IK
rtxAx A
Or, le cube C étant l’unité de volume, le rapport -, est la
mesure du parallélipipède P, et d’ailleurs a X A est la mesure de la base de ce même parallélipipède. Donc un parallélipipède rectangle a pour mesure le produit de. sa base par sa hauteur.
Remarque I. — Pour mesurer un parallélipipède rectangle, il faut d’abord mesurer deux côtés contigus de sa base, puis sa hauteur avec le côté du cube pris pour unité de volume; de là le nom de dimensions donné aux trois arêtes qui aboutissent à un même sommet du parallélipipède (416). Donc un parallélipipède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions.
Remarque II. — En général, le produit a X A X A est la mesure d’un parallélipipède rectangle qui a pour dimensions a, A, A ; de même a x a X a ou a’ est la mesure du cube dont le côté est a. C’est cette dernière mesure qui a fait donner le nom de cube à la troisième puissance d’un nombre.
Remarque III. — Par le volume d’un solide, d’un polyèdre par exemple, on entend ordinairement la portion de l’espace que ce polyèdre occupe (1); mais quelquefois par volume d’un polyèdre, on entend la mesure de ce polyèdre. Ainsi on dit que le volume d’un parallélipipède rectangle est égal au produit de sa base par sa hauteur.
Deux polyèdres et plus généralement deux solides sont
MES1RE DES POLYÈDRES. 3l3
équivalents, lorsqu’ils ont la même mesure ou le même volume.
Toutefois, pour reconnaître que deux solides sont équivalents, il n’est pas nécessaire de savoir les mesurer et de constater que leurs mesures sont égales. ( Voir au n° 187 ce qui a été dit sur les surfaces équivalentes.)
Théorème V.
420. Un parallêlipipède droit AG a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
Soit le rectangle ABKL équivalent au parallélogramme ABCD, et construisons le parallêlipipède rectangle
ZT
-fi
ABKLEFMN.
Les deux prismes triangulaires droits ADLEHN, BCKFGM, seront égaux, comme ayant des bases égales et même hauteur; or, si on les retranche successivement du prisme total ABCLEFGN, les restes, qui ne sont autres que le parallêlipipède AG et le paralléli-
pipède AM seront équivalents. Donc
mesure du parallêlipipède AG = mes. du parallêlipipède AM
= ABKL X AE,
