DU TRONC DE PRISME TRIANGULAIRE

Lemme.

428. Si on diviseen parties égales la hauteur kl d’une pyramide triangulaire SABC et qu’on mène, par les points de division x, y, z, des plans parallèles à la base ABC, puisqu'on construise des prismes DEFA, GHKD, LMNG, intérieurs à la pyramide, ayant chacun pour base l’une Ses sections et pour arête une des parties égales AD, DG, GL, de l’une des arêtes SA, par exemple, le volume de la pyramide est la limite vers laquelle tend la somme des prismes, lorsque le nombre des divisions de la hauteur augmente indéfiniment.

En effet, si on construit les prismes ABCD, DEFG, GHKL, LMNS, qui sont extérieurs à la pyramide, on voit d’abord que

la pyramide SABC est plus grande que la somme des prismes intérieurs et plus petite que celle des prismes extérieurs.

Ensuite le premier prisme intérieur DEFAellesecond prisme exté rieur DEFG sont équivalents, comme ayant même base et des hauteurs égales, et, par la même raison, les prismes GHKD, LMNG, sont respectivement équivalents aux prismes GHKL, LMNS. Donc la différence entre la somme des prismes extérieurs et celle des prismes intérieurs n’est autre que le premier prisme extérieur ABCD, qui a pour mesure

ABC X h.x ou ABC X h, en représentant kx par h.

Maintenant, supposons que le nombre des divisions de la hauteur AT augmente indéfiniment, et qu’on répète successivement les mêmes constructions; en désignant toujours par h l’une des divisions de AT, on aura constamment, pour la différence des deux sommes de prismes,

ABC X h.

Or, A peut devenir moindre que toute quantité donnée, et il en est de même de la différence ABC X A ; donc la pyramide SABC est comprise entre deux sommes de prismes dont la différence peut deveniraussi petite qu’on voudra et, par conséquent, elle est la limite vers laquelle tend la somme des prismes intérieurs, ainsi que la somme des prismes extérieurs, lorsque le nombre des divisions de la hauteur AT augmente indéfiniment.

Ainsi, le lemme est démontré.

Tuéorème I.

429. Deux pyramides triangulaires SABC, S'A'B'C', qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales, sont équivalentes.

Supposons que les bases ABC, A'B'C', soient situées sur un même plan et que la droite AT, perpendiculaire à ce plan, soit

la hauteur de chacune des pyramides.

le divise AT en quatre parties égales, par exemple, aux points x, y, z, puis par ces points de division je mène des plans parallèles au plan des deux bases, qui déterminent dans la première pyramide les sections DEF, GHK, LMN, et dans la seconde, les sections D'E' F', G'H'K', L'M'N', et ces dernières sections seront respectivement équivalentes aux précédentes (415).

Ensuite, dans la pyramide SABC, je construis les prismes DEF A, GHKD, LMNG.etdans la pyramide S'A'B'C', les prismes D'E' F' A', G' H'K'D', L'M'N' G'. Aloisles deux prismes DEFA, D'E' F' A', sont équivalents, comme ayant des bases équivalentes et des hauteurs égales (426) ; de même

GHKD = G' H'K'D' et LMNG = L'M'N' G' ;

donc, en désignant par * la somme des prismes intérieurs à la pyramide SABC et par s' la somme des prismes intérieurs à la pyramide SA'B'C', on a

Maintenant supposons que le nombre des parties égales de AT augmente indéfiniment et qu’on répète les constructions précédentes ; en représentant toujours par J et é les deux sommes de prismes, on aura constamment

2l8 géométrie dans l’espace. — LIVRE VI.

et, si on remplace dans cette égalité les quantités variables s et s' par leurs limites, il s’ensuit que les deux pyramides SABC, S'A'B'C', sont équivalentes (282).

430. Corollaire. — Le plan mené par deux arêtes opposées d’une pyramide, qui a pour base un parallélogramme, divise cette pyramide en deux pyramides triangulaires équivalentes.

Car ces deux pyramides ont des bases égales et même hauteur. [Note 66.]

Tbéoréme 11.

431. Une pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

i° Soit la pyramide triangulaire SABC. Je construis le prisme triangulaire ABCDSE, ayant pour base ABC et pour arête l’une des arêtes BS de la pyramide, et par les droites SC, SD, je mène un plan qui coupe la face ADEC suivant DC.

Le prisme est ainsi décomposé en trois pyramides triangulaires SABC, SACD, SDEC; or, la pyramide quadrangulaire CABSDa pour base le parallélogramme ABS1); donc la pyramide CABS ou SABC est équivalente à la pyramide CASD ou SACD (430) : de même la pyramide quadrangulaire SADEC a pour base le parallélogramme ADEC; donc la pyramide SACD est équivalente à la pyramide SDEC.

Donc la pyramide proposée SABC est le tiers du prisme ABCDSE de même base et de même hauteur, et par conséquent (420) elle a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

2° Soit une pyramide quelconque qui a pour base ABCDE et pour hauteur h.

Par l’arête SA et par chacune des diagonales AC, AD, de la base je mène des plans, qui décomposent la pyramide en pyramides triangulaires, et on a

SABC = ABC X ^h,

SACD = ACD X ^ A , SADE=ADEx^/<.

Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient SABCDE = ABCDE X ^ h = ABCDE x h.

MESURE DES POLYÈDRES. 2ig

Corollaire /. — Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases, et deux pyramides qui ont des bases équivalentes sont entre elles comme leurs hauteurs.

432. Corollaire II. — Deux tétraèdres, qui ont un angle trièdre égal, sont entre eux comme les produits des arêtes qui comprennent cet angle.

Car, si deux tétraèdres ont un angle trièdre égal, on peut supposer qu’ils soient placés l’un sur l'autre de manière que leurs deux angles trièdres égaux coïncident.

Soient donc les deux tétraèdres SABC, SDEF, qui ont l'angle trièdre S commun, et menons le plan EAC. Les tétraèdres SABC, SAEC, ont chacun pour sommet le point A, et leurs bases SBC, SEC sont situées sur le même plan; donc ils ont même hauteur et sont entre eux comme leurs bases; ainsi on a

SABC SBC SAEC “ SEC ’

D’ailleurs les triangles SBC, SEC ont chacun pour sommet le pointC, et leurs bases sont sur une même ligne droite; donc