DES POLYÈDRES RÉGULIERS

Définition.

459. On appelle polyèdre régulier, celui dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux et dont tous les angles solides sont égaux. Ainsi, le cube est un polyèdre régulier.

Il résulte de cette définition que tous les côtés d'un polyèdre régulier sont égaux entre eux.

Remarque. — On verra, d'après les propositions suivantes, qu’il existe cinq polyèdres réguliers et qu’il n’en peut exister que cinq. Ces polyèdres sont: le tétraèdre, Y hexaèdre, Yoctaèdre, le dodécaèdre et Y icosaèdre. Le premier, le troisième elle cinquième ont pour faces des triangles équilatéraux; le second a pour faces des carrés, et le quatrième des pentagones réguliers.

Problème I.

460. Construire un tétraèdre régulier, qui ail pour côté une droite donnée AB.

Construisons le triangle équilatéral ABC et, du centre O de ce triangle, élevons sur le plan ABC la perpendiculaire OD ;

puis déterminons le point D de telle sorte que la distance AD soit égale à AB, et menons les droites DB, DC; alors DABC est le tétraèdre demandé.

Car les obliques DA, DB, DC, qui s’écartent également du pied de la perpendiculaire DO, sont égales, et d’ailleurs DA = AB ; donc déjà les quatre faces du tétraèdre sont des triangles équilatéraux égaux entre eux. De plus, les angles trièdres A, B, C, D sont égaux, puisqu’ils ont leurs angles plans respectivement égaux ; donc le tétraèdre DABC est régulier.

Remarque. — Deux tétraèdres réguliers sont des polyèdres semblables. Car leurs faces sont semblables, chacune à chacune, et tous leurs angles solides sont égaux, comme étant des angles trièdres qui ont leurs angles plans respectivement égaux.

Problème II.

461. Construira un hexaèdre régulier, qui ait pour côté une droite donnée AB.

Construisons le carré ABCD et du sommet A élevons sur le plan de ce carré la perpendiculaire AE égale à AB; achevons le parallélipipède ABCDEFGH, et ce parallélipipèdc sera le cube ou l’hexaèdre régulier demandé.

Car les six faces de cet hexaèdre sont des carrés égaux, et ses huit angles trièdres sont formés chacun de trois angles plans qui sont droits.

— Deux hexaèdres réguliers sont semblables. Problème III.

462. Construire un octaèdre régulier, qui ait pour côté une droite donnée AB.

Sur le carré ABCD, comme base, construisons au-dessus et au-dessous de cette base deux pyramides régulières EABCD, FABCD, dont les hauteurs OE, OF, soient chacune égale à OA. Dans les douze triangles rectangles, qui ont pour sommet le point 0, les côtés des angles droits seront égaux entre eux ; donc les douze hypoténuses AB, AE, AF,..., seront aussi égales entre elles et par conséquent les faces de l’octaèdre sont des triangles équilatéraux égaux. De plus, il est facile de voir que deux angles solides quelconques, A et E, par exemple, peuvent se superposer, puisqu’ils sont les angles au sommet de deux pyramides régulières ABEDF, EABCD, qui ont des bases et des hauteurs égales.

Remarque l. — Lorsque trois droites égales AC, BD, EF, se coupent deux à deux en parties égales et à angles droits, leurs extrémités sont les sommets d’un octaèdre régulier.

Remarque II. — Tous les angles dièdres d’un octaèdre régulier sont égaux entre eux. Ainsi l’angle dièdre BE, par exemple, est égal à l’angle dièdre AE; car l’angle trièdre qui a pour arêtes BA, BE, BC, et l’angle trièdre qui a pour arêtes AD, AE, AB, sont égaux, comme ayant leurs angles plans égaux chacun à chacun.

Remarque.

POLYÈDRES RÉGULIERS. î3p

Remarque III. — Deux octaèdres réguliers sont semblables. Gir leurs faces sont semblables chacune à chacune, et leurs angles solides sont égaux, comme ayant leurs angles plans respectivement égaux et tous leurs angles dièdres égaux entre eux.

Problème IV.

463. Construire un dodécaèdre régulier, qui ait pour côté une droite donnée AB.

Construisons le pentagone régulier ABCDE et menons d’un même côté du plan de ce pentagone les droites AF, B1I, CK,

DM, EO, de manière ii. à former aux sommets

Z' A, B, C, D, E, des an-

E. ^ I N v^i' gles trièdres dont lou-

/ l i \ / tes les faces soient

\1/ R /‘ ° \y H égales à l’angle EAB

P u rr G’ que nous désignerons

par a. Tous les angles dièdres de ces angles trièdres seront aussi égaux entre eux, et par conséquent le plan FAB n’est autre que le plan ABU ; donc dans ce plan on peut former le pentagone régulier ABHGF égal au pentagone ABCDE, et on pourra de même, dans les plans IIBCK, KCDM,..., construire les pentagones réguliers BCK1H, CDMLK

On obtiendra ainsi une surface composée de six pentagones réguliers égaux, et, si on remarque que l’angle trièdre, ayant pour arêtes FA, FG, FP, est égal à l’angle trièdre qui a pour arêtes AF, AB, AE, puisque ces angles trièdres ont l’angle dièdre FA commun, compris entre des faces égales chacune à chacune, il s’ensuivra que l’angle PFG est égal à l’angle EAB ou a. Donc la surface ABCDEFG. . . est limitée par une ligne brisée FGH1K... dont tous les angles FGH, GUI,..., alternativement saillants et rentrants sont égaux à l’angle a, et on peut conclure aussi que chacun des angles trièdres F, H, K, M, O, est égal à l’angle trièdre A.

Maintenant, soit un pentagone régulier A'B'C'D'E' égal au pentagone ABCDE, et supposons, pour fixer les idées, que ces deux pentagones soient situés sur le même plan; puis, répétons sur le second pentagone les constructions qu’on vient de faire sur le premier; seulement, si les droites AF, BI1, CK, DM, EO, sont situées au-dessus du plan ABCDE, menons les droites A'P', B'G', C'I', D'L', E'N', au-dessous de ce plan. On formera une nouvelle surface A'B'C'D'E' F F'. . ., et, si en la retournant, on la plaçait sur la première, de manière que le

2^0 GÊOJiÊTRIE DAtiS L’ESPACE. LIVRE VI.

point B' tombât en A, le point A' en B et le point E' en C, les deux surfaces se confondraient.

Cela posé, sans retourner la seconde surface, portons-la sur la première, de telle sorte que l’angle saillant F' coïncide avec l’angle rentrant PFG ; comme on a F'P'=-FP, F'G'=FG, le point P' tombera sur le point P et le point G' sur le point G. Alors les trois pentagones FAEOP, FABHG, F'P'A'B'G', formeront ensemble au point F un angle trièdre égal à l’angle trièdre A; d’où il résulte que l’angle dièdre FG, compris sous les plans AFG, FGB', sera égal à l’angle dièdre AB, par exemple, que nous représenterons part/. De plus, chacun des angles plans FGB', FGH est égala a; donc l’angle trièdre, ayant pour arêtes GF, GB', GH est égal à l’angle trièdre de la seconde figure, qui a pour arêtes G' F', G' B', G' H', et par suite l’arête G' IF coïncidera avec l’arête GH. On verrait de même que l’angle trièdre HGBI de la première figure est égal à l’angle trièdre qui aura pour arêtes HG,HB, Hl' ; donc H F coïncidera avec III, et ainsi de suite.

Donc les deux surfaces ABCDEFG ... et A' B' C' D' E' P' F' . . . formeront ensemble une seule surface composée de douze pentagones réguliers égaux entre eux, et dont les angles solides seront égaux; donc celte surface sera le dodécaèdre réguliet demandé.

Remarque. — Deux dodécaèdres réguliers sont semblables.

Problème V.

464. Construire un icosaèdre régulier, qui ait pour côté une droite donnée AB.

Sur le côté MN, égal à AB, je construis le pentagone régulier MNPQK et du centre 0 de ce pentagone, j’élève sur le plan MNP la perpendiculaire OS; je détermine le point S de telle sorte que la distance MS soit égale à MN et je mène les

droites SN, SP, SQ, SR. Je forme ainsi une pyramide régulière dont la surface latérale se compose de cinq triangles équilatéraux égaux entre eux, et, comme les angles trièdres M, N, P, Q, H, sont composés chacun de deux angles de triangles équi-

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POLYÈDRES RÉGULIERS. ï^\

latéraux et d'un angle de pentagone régulier, il s’ensuit que les angles dièdres SM, SN, SP, SQ, SR sont égaux entre eux. Désignons l’un de ces angles dièdres par d.

Maintenant, soit ABC un triangle équilatéral, dont le côté est égal à la droite donnée AB, et construisons d’un même côté du plan de ce triangle les trois pyramides CABDEF, ABCFGH, BACD1H, égales chacune à la pyramide S. On obtiendra une surface composée de dix triangles équilatéraux égaux entre eux, et les angles solides D, E, F, G, U, I seront alternativement égaux à l’angle solide qui a pour arêtes SM, SP, SQ, SR, ou à l’angle trièdre qui a pour arêtes SM, SP, SN ; donc l'angle IDE, par exemple, est égal à l’angle DEF, puisque chacun de ces angles est égal à l’angle MSP, qui lui-même est égal à l'angle MNP, à cause de l’égalité des triangles MPS, MPN.

Soit de même A’B'C' un second triangle équilatéral égal au triangle ABC, et supposons que ces deux triangles soient situés sur le même plan; puis répétons sur le second triangle les constructions qu’on a faites sur le premier; seulement, si les arêtes CD, CE, CF,..., sont au-dessus du plan ABC, menons les arêtes C'I', C'D', C'E',. . ., au-dessous de ce plan. On formera ainsi une nouvelle surface égale à la première.

Cela posé, portons la figure C'A'BTD'... sur la figure CABDE..., de manière que l'angle E'D'I' coïncide avec son égal EDI ; comme on a D'E' = DE, DT = DI, le point E' tombera sur le point E et le point I' sur le point I. Alors les triangles DEC, DCB, DBI, DIC', DC'E formeront ensemble un angle solide D égal à l’angle solide S; d’où il résulte que. l’angle dièdre compris sous les faces DEC, DEC' sera égal à d. Donc les triangles équilatéraux E'D' C', E'C' A', E' A'F' de la seconde figure se réuniront aux triangles EDC, ECF de la première, pour former une pyramide EDC'A'FC égale à la pyramide S, et, par conséquent, l’arête E'F' coïncidera avec l’arête EF. On verrait de même que F' G' coïnciderait avec FG, et ainsi de suite.

Donc les deux surfaces CABDE ... et C' A' BT D' . . . formeront ensemble une surface unique composée de vingt triangles équilatéraux égaux entre eux et dont les angles solides 1 seront égaux ; donc cette surface sera l’icosaèdre régulier demandé.

Remarque. — Deux icosaèdres réguliers sont semblables. Car leurs faces sont semblables, chacune à chacune, et leurs angles solides sont égaux, comme ayant leurs angles plans respectivement égaux et tous leurs angles dièdres égaux entre eux.

Éléments. I G

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. — LIVRE VI.

Théorème.

465. Il ne peut exister que cinq espèces de polyèdres réguliers.

En effet, on obtient trois polyèdres réguliers, le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre, en assemblant des triangles équilatéraux trois à trois, quatre à quatre, cinq à cinq, et on en forme deux autres, savoir : l’hexaèdre, avec des carrés réunis trois à trois, et le dodécaèdre, avec des pentagones réguliers assemblés aussi trois à trois.

Mais on ne saurait construire d’autres polyèdres réguliers en assemblant autour d'un point plus de cinq triangles équilatéraux ; car six angles de ces triangles valent quatre droits et ne peuvent former un angle solide.

On verrait de même qu’on ne peut pas obtenir un angle solide en réunissant autour d’un point plus de trois carrés ou plus de trois pentagones réguliers, ou enfin un nombre quelconque de polygones réguliers, ayant plus de cinq côtés.

DÉFINITIONS