OC = OC' = OC
Donc la sphère décrite du point O comme centre, avec le rayon OC, sera inscrite dans le polyèdre.
Remarque I. — On ne peut circonscrire qu'une seule sphère à un polyèdre régulier. Car par quaire points, non situes dans le même plan, on ne peut faire passer qu’une seule sphère.
De même, on ne peut inscrire qu'une seule sphère dans un polyèdre régulier. Car le centre de toute sphère inscrite dans le polyèdre, qui a pour côté AB, doit être un point également distant de toutes les faces, et par conséquent il doit être situé à la fois sur les plans bissecteurs de tous les angles dièdres du polyèdre. Or tous ces plans bissecteurs doivent passer par le point O; donc la sphère qui a pour centre le point O et pour rayon OC est la seule qu’on puisse inscrire dans le polyèdre.
Remarque II. — On appelle centre d'un polyèdre régulier le centre commun de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite. On dit aussi que le rayon de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite sont, l’un le rayon, et l’autre l’ apothème du polyèdre. [Note 77.]
Définitions.
507. Une zone sphérique est une portion de la surface de la sphère, comprise entre deux plans parallèles. Les cercles
déterminés par ces plans sont les bases de la zone. L’un des plans peut être tangent à la sphère; alors la zone n’a qu’une base et ou l’appelle quelquefois calotte sphérique.
Si l’on fait tourner une demi-circonférence ACDB autour du diamètre AB, l'arc CD engendrera une zone dont les bases auront respectivement pour rayons les perpendiculaires CC', DD', abaissées des points C et D sur le diamètre AB.
La hauteur d’une zone est la distance C'D' de ses deux bases.
508. Lorsqu’on fait tourner un demi-cercle OACDB autour du diamètre AB, le secteur circulaire OCD engendre un solide appelé secteur sphérique. Ce secteur sphérique a pour base la zone décrite par l’arc CD.
509. Un segment sphérique est une portion du volume de la sphère, comprise entre deux plans parallèles. Les cercles déterminés par ces plans sont les bases du segment sphérique. Le segment n’a qu’une base, si l’un des plans parallèles est tangent à la sphère.
La hauteur d’un segment sphérique est la distance de scs deux bases.
BKSl'RE DE LA SURFACE ET DU VOLUME DE LA SPHÈRE. 167
510. Un cylindre est inscrit dans une sphère, lorsque ses bases sont des cercles de la sphère. La sphère
g est circonscrite au cylindre.
Soit un cercle O et EFGII le carré circone scril dont les côtés sont tangents aux points A, B, C, D ; le demi-cercle BCD et le demi-carré r BFGD, en tournant autour du diamètre BD, engendreront la sphère OA et le cylindre circonscrit à la sphère.
Remarque. — Concevons qu’un polygone soit circonscrit au cercle BF et que l’on construise sur ce polygone un prisme droit ayant pour hauteur le diamètre BD; ce prisme sera circonscrit à la sphère OC. Car ses bases seront d'abord tangentes à la sphère aux points B et D, et de plus la distance de chacune de ses faces latérales au point B ou au point O sera égale à BF ou a OC.
511. Un cône est inscrit dans une sphère, lorsque sa base est un cercle de la sphère et que son sommet est situé sur la
surface de la sphère. La sphère est circonscrite au cône.
Soit un cercle O et un triangle isocèle SAB circonscrit, dont les côtés sont tangents aux points C, D, E; le demi-cercle CDF et le demi-triangle SCB, en tournant autour de SC, engendreront la sphère OC et un cône SCB circonscrit à cette sphère.
Le cône circonscrit à la sphère est dit équilatéral, lorsque le triangle SAB est équilatéral.
Mesure de la surface de la sphère.
Lemhe I.
512. Lorsqu'un axe xy et une droite AB sont situés dans le même plan et qu'on fait tourner ce plan autour de l ’axe, la surface engendrée par la droite a pour mesure la projection A'B' de la droite sur l'axe, multipliée par la circonférence qui a pour rayon la perpendiculaire MO élevée sur le milieu de la droite et prolongée jusqu'à la rencontre de l’axe.
1" Supposons que la droite AB soit pai ? S rallèle à xy, on aura (485)
surf. AB = AB X a -MO,
= A'B' X a -MO.
a° Soit la droite AB qui rencontre l’axe au point A ; en
abaissant MM' perpendiculaire à xy, on aura (i) surf. AB = AB x a TT MM'.
Mais les triangles ABB', MOM' sont semblables, comme ayant b. leurs côtés perpendiculaires chacun à cha- „ cun; donc
d'où l’on tire
AB
MO
AB'
