POLYÈDRES INSCRITS ET POLYÈDRES CIRCONSCRITS

Remarque IP. — Les volumes V, V' de deux polyèdres, circonscrits à la même sphère K. sont entre eux comme les surfaces S, S' de ces polyèdres. Car on a

et, par suite,

Théorème III.

506. Tout polyèdre régulier peut être inscrit dans la sphère et peut lui être circonscrit.

Soient AB un côté du polyèdre, CD et C'D les apothèmes des deux faces adjacentes à AB, Cx et C'y les axes des cercles circonscrits à ces mêmes faces, et par le point D, \ milieu de AB, menons un plan perpendiculaire

- — ; à AB. Ce plan passera d'abord par les points C,

t/ iy' / C', qui sont également distants des points A

X j / et B; de plus ce même plan, étant perpendi-

-J/ culaire à AB, sera aussi perpendiculaire aux

deux faces adjacentes à AB, et par suite il con- *' tiendra les deux axes Cx, C'y. Donc ces axes,

qui sont respectivement perpendiculaires aux côtés DC, DC' de l’angle CDC', se rencontreront en un point O, et ce point sera également distant de tous les sommets des deux faces ABC, ABC'.

Maintenant, concevons un second côté AE commun a la face ABC et à une troisième face du polyèdre, puis désignons parC" le centre de celte face, par C z l’axe du cercle C"A, par O' le point d’intersection de C"a avec Cx, et enfin par F le milieu de AE; alors il est facile de voir que les deux quadrilatères CDC' O, CFC" O' sont égaux, et par suite que CO' =CO. Donc le point O est également distant de tous les sommets des trois faces ABC, ABC', AEC", et ainsi de suite; donc, si du point O comme centre, avec le rayon OA, on décrit une sphère, elle sera circonscrite au polyèdre.

En second lieu, tous les triangles rectangles tels que OCA, OC'A, OC" A,. .. sont égaux, comme ayant l’hypoténuse égale et un côté égal ; donc