MO ~ MM7 ~ MM
d’où l’on tire AB X MM' = A' B' x MO ; donc surf. AB = A' B' X a s MO.
Observation. — Il n’y a pas lieu do supposer la droite AB perpendiculaire à l’axe; car dans ce cas la projection de AB sur xy est nulle, et la perpendiculaire MO est parallèle à xy. D’ailleurs nous n’aurons {mis à considérer ce cas particulier.
Lemme II.
513. La surface engendrée par une ligne brisée régulière ARCD, tournant autour d'un diamètre EF du cercle circonscrit, a pour mesure la projection de la ligne brisée sur le diamètre, multipliée par la circonférence OM du cercle inscrit dans la ligne brisée.
Car, en abaissant sur l'axe xy les perpendiculaires AA', BB', CC',DD',on a, d’après le leinme précédent,
surf. AB = A'B' X 2t:OM, surf. BC = B' C' X ajrOM, surf. CD=C'D’X2ttOM.
MESURE DE LA SURFACE ET DU VOLUME DE LA SFBtiRB. 2(>g
Ajouiant ces égalités membre à membre et mettant 2j:0M en facteur commun, il vient
surf. \BCD = A'D' x arOM.
Remarque. — Si les extrémités de la ligne brisée aboutissaient à l’axe, celte ligne serait la moitié du périmètre d’un polygone régulier d’un nombre pair de côtés, et la surface engendrée aurait pour mesure EFxarOM ou le diamètre du cercle circonscrit à la ligne brisée, multiplié par la circonférence du cercle inscrit dans cette ligne.
Défait ion. — La projection de la ligne brisée ABCD sur le diamètre EF est la hauteur de la surface engendrée par cette ligne brisée.
Lemme 111.
514. Lorsqu'on fait tourner, autour d’un diamètre CI), un arc AB et deux lignes brisées régulières semblables, l ’ une inscrite et l'autre circonscrite à cet arc, la zone engendrée par l’arc est comprise entre les surfaces engendrées par les deux lignes brisées.
En effet, la surface convexe décrite par la ligne brisée AEB est terminée par les deux circonférences qui ont pour rayons
les perpendiculaires AA', BB', abaissées surxy; donc cette surface est plus petite que la zone qui l’enveloppe et qui est terminée aux deux mêmes contours , ainsi on a déjà
* crus u uni- y
surf. AEB < zone AB.
En second lieu, si par les points A et B on mène les tangentes AK, BL, on aura, par une raison semblable,
zone AB < surf. AKGLB ;
et, par conséquent, il suffit maintenant de démontrer que la surface décrite par AKGLB est moindre que la surface décrite par FGH.
ür, ces deux surfaces ont une partie commune engendrée par la ligne KGL; d’ailleurs on a (485)
surf. AK =^AK (AA'-f- KK'), surf. FK = t. FK ( FF' -+- KK' ),
et, si on compare ces deux mesures, on voit que AK perpendiculaire à OF est moindre que l’oblique F'K et qu’on a aussi
370 GÉOMÉTRIE DAKS l' ESPACE. LIVRE VII.
AA'<FF'; donc surf. AK est moindre que surf. FK : on verrait de même que surf. BLesl moindre que surf. HL. Donc on a
surf. AKGLB < surf. FGH, et, par suite, zone AB O surf. FGH.
Remarque. — Supposons que le nombre des côtés des deux lignes brisées semblables double indéfiniment, les surfaces engendrées par les lignes brisées inscrites auront pour hauteur constante A' B': au contraire, la hauteur des surfaces engendrées par les lignes brisées circonscrites sera variable et elle aura pour limite A' B'. Car la droite AF est plus grande que sa projection A' F'; mais AF, qui est la différence des rayons OF, OA, a pour limite zéro (286); donc A' F' tend aussi vers cette limite et il en est de même de B' II'. Donc F' II' a pour limite A' B' ou la hauteur de la zone AB.
Lemhe IV.
515. Lorquon fait tourner autour d’un diamètre un arc et une ligne brisée régulière inscrite dans cet arc, la zone engendrée par l'arc est la limite vers laquelle tend la surface décrite par la ligne brisée, lorsque le nombre des côtés de celte ligne double indéfiniment.
En effet, concevons deux lignes brisées régulières de n côtés, l’une inscrite et l’autre circonscrite à l’arc qui engendre la zone, puis les lignes brisées inscrites et circonscrites de an, 4n> 8n,... côtés, et soient r, R les apothèmes des lignes brisées semblables qu’on obtient successivement, s , S les surfaces décrites par ces lignes brisées, /1, H les hauteurs de ces surfaces; on aura constamment
S = 2rRH,
s = 2 tt rh,
et, par suite, S — $ = 2jt(RH — rh).
Or, à mesure que le nombre des côtés des lignes brisées augmente, les deux produits RII et rh tendent chacun vers la limite RA ; donc le second membre 27r(RII — rh) et par conséquent le premiers — 5 tendent vers la limite zéro. Mais la zone est comprise entre S et s ; donc ces deux surfaces ont la zone pour limite commune.
Ainsi le lemme est démontré.
Théorème.
516. Une zone a pour mesure sa hauteur multipliée par la circonférence d 'un grand cercle.
MESl'RE PE LA SURFACE ET DU VOLUME DE LA SPHÈRE. a- I
Considérons la zone engendrée par l’arc AB, en tournant autour du diamètre EF, et dont la hauteur est V B', et inscrivons dans l’arc AB une ligne brisée régulière quelconque, ACB par exemple, puis les lignes brisées régulières de 4, 8, 16,. . . côtés ; en désignant par S la surface engendrée par chacune de ces lignes, en tournant autour de EF, par r l’apothème correspondant, on aura l'égalité
S = A' B' X arcr,
dans laquelle S et r sont des quantités variables.
Donc on a aussi
lim. S = A' B' x lim. stït, ou zone AB = A' B' x 27rOE.
Corollaire. — La surface de la sphère peut être considérée comme une zone dont la hauteur est le diamètre EF. Donc
La surface de la sphère a pour mesure son diamètre multiplié par la circonférence d 'un grand cercle.
Et, comme l’aire d’un grand cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié de son rayon ou par le quart de son diamètre, on peut dire aussi que la surface de la sphère est égale à quatre fois celle d’un grand cercle.
Remarque. — Soient Z l’aire d'une zone, H sa hauteur, H le rayon de la sphère ; on aura les formules
Z = a z RH, surf. sph. =4~R*.
De la première il résulte que sur la même sphère ou sur des sphères égales deux zones sont entre elles comme leurs hauteurs, et de la seconde, que les surfaces de deux sphères sont entre elles comme les carrés de leurs rayons.
Mesure du volume de la sphère.
Lemme I.
517. Le volume engendré par un triangle ABC, tournant autour d’un axe xy mené, dans son plan et par un de ses sommets A, a pour mesure la surface engendrée par le côté BC opposé à ce sommet, multipliée par le tiers de la hauteur AD qui correspond au même côté.
SX
272 GÉOMÉTRIE DANS l’ ESPACE. LIVRE VII.
Nous distinguerons trois cas :
i° Supposons que le côté AC coïncide avec l'axe ou que le triangle tourne autour de ce côté, et abaissons sur xy la perpendiculaire BE. Le volume engendré par le triangle ABC est la somme des cônes engendrés par les triangles rectangles AEB, CEB, et on a successivement
volume ABC = vol. AEB -4- vol. CEB ,
= 4 *EB! X AE -I- ^ web’ X EC,
= i-Elt’(AE+ ECJ, = i rËB1 X AC.
Mais EB X AC exprime le double de la surface du triangle ABC, et il en est de même du produit BC X AD; donc on peut remplacer le premier produit par le second et il vient
vol. ABC = g - EB X BC X AD.
D'ailleurs -EB X BC est la mesure de la surface latérale du cône engendré par CEB; donc
vol. ABC = surf. BC X ^ AD.
2Ü Supposons que le côté AC ne coïncide pas avec l’axe et
que le côté BC prolongé rencontre xy au point E; on aura vol. ABC = vol. ABE — vol. ACE,
= surf. BE X ^ AD — surf. CE X g AD ,
= ( surf. BE — surf. CE) X ^ AD >
= surf. BC X ^ AD.
3° Supposons que le côté BC soit parallèle à l’axe et abais-
sons sur xy les perpendiculaires BE, CF; on aura vol. ABC = vol. EBCF — vol. AEB — vol. AFC,
= ttEB’ x EF — ^ -ËBJ X AE — ^ rËÜ’ X AF,
= rËB’^EF — ^ AE — 5 AFj»
= -ëbx|ef,
= »t:EB xEFxJ EB.
Ma is anEBxEF est la mesure de la surface latérale du cylindre engendré par le rectangle EBCF, et, déplus, EB = AD; donc
vol. ABC = surf. BC X ^ AD.
Observation. — Dans le premier cas, si l'angle C ou l’angle A du triangle ABC est obtus, la perpendiculaire BE tombe sur le prolongement du côté AC et le volume engendré par ABC est la différence de deux cônes ; si l'un des angles C ou A était droit, le volume engendré par ABC serait un cône.
Dans le troisième cas, si la perpendiculaire AD tombe sur le prolons c gement de BC, le volume engendré par ABC
— — est égal à la somme du cône et du cylindre / ! engendrés respectivement par le triangle AEB
et par le rectangle EBCK, diminuée du cône en-
* A E 1 >J gendre par le triangle ACF.
Ces différents cas particuliers ne présentent pas de difficulté; du reste, il est inutile de les considérer pour ce qui suit. [Note 78.]
Lemme II.
518. Le volume engendré par un secteur polygonal régttr • lier OABCD, tournant autour d'un
