n diamètre EF du cercle circonscrit, a

4/ u ' / \ pour mesure la surface engendrée par

/ la ligne brisée ABCD, multipliée par

f v le tiers de l'apothème OM.

Car, en menant les rayons OB, OC, on a, d’après le lemme

Éléments. 1 S

précèdent,

vol. OAB = surf. AB X ^ OM, vol. OBC = surf. BC X ^ OM, • vol. OCD = surf. CD X ^ OM.

Ajoutant ces égalités membre à membre et mettant ^ OM en facteur commun, il vient

vol. OABCD = surf. ABCD x ^ OM.

Lemme III.

519. Lorsqu’on fait tourner autour d'un diamètre un secteur circulaire et un secteur polygonal régulier dont la base est inscrite dans l’arc du secteur circulaire, le volume engendré par le secteur circulaire est la limite vers laquelle tend le volume engendré par le secteur polygonal, lorsque le nombre des côtés de la base de ce secteur double indéfiniment.

En effet, concevons deux lignes brisées régulières de n côtés, l’une inscrite et l’autre circonscrite à l’arc du secteur circulaire, puis les lignes brisées inscrites et circonscrites de in, 4 n, 8n,... côtés, et soient r, R les apothèmes des lignes brisées semblables qu’on obtient successivement, s, S les surfaces décrites par ces lignes brisées, v, V les volumes engendrés par les secteurs qui ont pour bases ces mêmes lignes brisées; on aura constamment

V = SXjR,

‘'=,xr-

et, par suite, V — c=^(SR — sr).

Or, à mesure que le nombre des côtés des lignes brisées augmente, les deux produits SR et sr tendent chacun vers la limite Z X R, en représentant par Z la zone engendrée par l’arc du secteur circulaire; donc, le second membre

^ (SR — sr) et par conséquent le premier V — v tendent vers

la limite zéro. Mais le secteur sphérique est compris entre V

et p; donc ces deux volumes ont le secteur sphérique pour limite commune.

Ainsi le lemme est démontré.

Théorème I.

520, Un secteur sphérique a pour mesure lu zone qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon de la sphère.

Considérons le secteur sphérique engendré par le secteur circulaire OAB, tournant autour du diamètre EF, et inscrivons dans l'arc AB une ligne brisée régulière quelconque, ACB par exemple, puis les lignes brisées régulières de 4, 8, 16,... côtés; enfin, soient V le volume engendré par chaque secteur polygonal ainsi obtenu, en tournant autour de EF, S la surface décrite par la ligne brisée correspondante, r l’apothème de celte ligne brisée; on aura légalité

dans laquelle V, S et r sont des quantités variables.

Donc on a aussi

lim. V = lim.Sx lim.ir,

ou sect. sph. OAB = zone AB X ^ OA.

Corollaire. — La sphère peut être considérée comme un secteur sphérique engendré par le demi-cercle OECF. Donc Le volume de la sphère a pour mesure sa surface multipliée par le tiers de son rayon.

Remarque. — Soient H la hauteur de la zone qui sert de base au secteur sphérique, R le rayon de la sphère; on aura

sect. sph. = 2t:RU X R = ^ "R’H,

vol. sph. = ^ -R*.

De celte dernière formule il résulte que les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes de leurs rayons. De plus, si on représente par D le diamètre de la sphère,

on a

donc le volume de la sphère est aussi donné par la formule vol. sph. = ^ jtD5.

et

Théorème II.

521. Le volume engendré par un segment circulaire AMB, tournant autour d’un diamètre EF, a pour mesure la sixième M partie du cercle qui aurait pour rayon

' , ~~ u la corde. AB du segment, multipliée