OB' — 0'B'> OA — O'B

Remarque II. — Le paragraphe où il est question des positions relatives de deux circonférences comprend dix propositions, savoir : cinq propositions directes et leurs cinq réciproques.

Dans le texte, on a d’abord démontré quatre propositions directes, ainsi que leurs réciproques; puis on en a conclu la cinquième proposition directe et sa réciproque. Mais on aurait pu démontrer d’abord les cinq propositions directes et en conclure ensuite les cinq réciproques, en se fondant sur ce principe :

Si, dans une série de propositions, on fait sur un sujet déterminé toutes les hypothèses possibles et que ces hypothèses conduisent à îles conclusions distinctes, dont chacune exclut toutes les autres, on peut affirmer que les réciproques de toutes ces propositions sont vraies.

Remarque III. — On pourrait encore commencer par démontrer les cinq propositions réciproques et en déduire les cinq propositions directes. Mais, en suivant celte marche, on ne saurait pas réaliser l'hypothèse avec la règle et le compas lorsqu'on supposerait les deux circonférences tangentes extérieurement ou intérieurement.

SUR LA RÉSOLUTION ET SUR LA DISCUSSION DES PROBLÈMES. — SUR LES PROBLÈMES DÉTERMINÉS OU INDÉTERMINÉS.

Sur la résolution des problèmes.

Il y a deux méthodes pour résoudre un problème : la méthode synthétique et la méthode analytique, ou bien l 'analyse et la synthèse.

Pour mieux faire comprendre la différence de ces deux méthodes, nous allons les appliquer successivement à la résolution de ce problème :

ISOTES SUR UE LIVRE I. — XOTE 4- 3 1 3

Décrire, avec un rayon tlonnë R, une circonférence qui pane par deux points donnés A , B.

Méthode synthétique. — Des points A, D comme centres, avec, le rayon R. je décris deux circonférences ou deux arcs de cercle qui se coupent au point Û, par exemple; et du point 0 comme centre, avec le même rayon R. je décris une troisième circonférence qui sera la circonférence demandée.

Car cette circonférence a pour rayon la droite donnée R ; et, de plus, elle passe par les points A, B, puisque les distances OA, OB sont chacune égales à R.

Méthode analytique. — Supposons le problème résolu , et soit ABM la circonférence demandée, qui a pour centre le point 0. Alors on voit que les distances du centre 0 aux points A et B sont égales chacune à la longueur donnée R ; donc, si des points A, B comme centres, avec le rayon R, on décrit deux circonférences, elles devront passer toutes deux par le centre 0 de la circonférence cherchée. Connaissant le point 0, il suffira de décrire de ce point comme centre, avec le rayon OA, une circonférence qui sera la circonférence demandée.

On retombe ainsi sur les constructions par lesquelles on a commencé, en suivant la méthode synthétique.

Remarque J. — De ce qui précède on peut conclure que la méthode synthétique, pour résoudre un problème, consisté à effectuer d’abord toutes les constructions nécessaires pour obtenir la solution de ce problème, et à démontrer ensuite que cette solution satisfait aux différentes conditions de l'énoncé. Ainsi, cette méthode suppose qu'on connaisse d'avance les constructions a effectuer ou qu’on cherche à les découvrir, soit par un examen attentif de la question, soit par des escais nombreux et dirigés à peu prés au hasard ; donc elle ne peut guère convenir que pour exposer des problèmes contenus dans le texte (problèmes qu’il faut regarder, en général, comme des opérations fondamentales ), et l’on doit la rejeter lorsqu’il s’agit de résoudre des problèmes proprement dits, c’est-à-dire les problèmes proposés comme exercices, dont il faut trouver la construction.

La méthode analytique , au contraire, consiste à supposer d'abord le problème résolu, et à construire approximativement la figure qui doit satisfaire aux conditions de l’énoncé, ce qui est toujours possible; ensuite on examine avec soin quelles sont les parties de la figure totale ainsi obtenue qui peuvent être construites immédiatement, quelles sont les propriétés dont jouit cette mime figure d’après les données et les différentes conditions du problème, et l’on cherche à découvrir les constructions qu’il faut effectuer pour passer de la figure partielle connue à la figure partielle inconnue, en employant du reste des constructions auxiliaires, s'il y a lieu.

Par exemple, dans le problème ci-dessus, après avoir décrit la circonférence ABM, qu'on regarde comme la circonférence cherchée, et avoir fixé son centre 0, on voit que les distances de ce centre aux points A, B sont chacune égaies à R ; et de là il résullo que la question revient à déterminer un point 0, dont les distances aux points connus A, B sont l’une et l’autre égales à R, ce qui ne présente aucune difficulté.

3l4 NOTES SI' R LE LIVRE I. NOTE 4*

Remarque II. — Lorsque la méthode analytique, qu'on appelle aussi méthmle d’invention, a Tait découvrir les constructions nécessaires pour résoudre un problème, on peut résoudre ce problème synthétiquement, ce qui revient au fond à démontrer un théorème.

Remarque III, — Il est impossible de donner des règles précises pour déterminer les constructions que nécessite la résolution d’un problème quelconque de Géométrie, et nous croyons devoir nous borner ici aux quelques conseils qui précèdent. Cependant, il est bon d’ajouter qu’au fur et à mesure qu’on résout un plus grand nombre de problèmes, on acquiert une aptitude de plus en plus grande pour en résoudre d'autres, soit parce qu’on ramène les nouveaux problèmes à des problèmes déjà vus, soit parce qu’on arrive à divers principes de résolution, qui, sans être généraux, donnent le moyen de résoudre la plupart des problèmes qu’on peut proposer.

Sur ta discussion des problèmes.

Après avoir résolu un problème, il faut le discuter, c'est-à-dire examiner : i° combien le problème admet de solutions, en général ; a" si le nombre des solutions ne diminue pas en vertu de certaines hypothèses faites sur les données; 3* si, par suite d’autres hypothèses, le problème ne devient pas impossible; etc. En un mot, discuter un problème, c’est examiner tes circonstances particulières qu’entraînent différentes hypothèses faites sur les données ; ou réciproquement, c’est déterminer le: conditions que doivent remplir les données pair que te problème présente telle ou telle circonstance particulière.

Comme exemple de discussion, considérons encore le problème résolu au commencement de celte Note.

Nous avons supposé que les circouférences décrites des points A, B comme centres, avec le rayon R, se coupaient en un point O; et la circonférence ABM était une solution du problème.

Or, i° supposons que la droite AB soit moindre que la somme a R des rayons; alors, comme celte droite AB est plus grande que la différence de ces mêmes rayons, il s'ensuit que les circonférences décrites des points A, B comme centres, avec le rayon R, se coupent en deux points O, O' ; ainsi, dans ce cas, les deux circonférences ABM, ABM’ satisfont à la question, et par conséquent le problème admet deux solutions.

20 Supposons que la droite AB = uR. Les deux circonférences décrites

des points A, B comme centres, avec le rayon R, seront tangentes extérieurement au point O (37), milieu de AB; dans ce cas, le problème n'admet qu’une solution, et la circonférence demandée a pour diamètre la droite AB.

3* Supposons qu’on ait AB > a R. Les deux circonférences décrites des points A, B comme centres, avec le rayon R,

seront extérieures l’une à l’autre (38); donc le problème sera impossible.

Sur les problèmes déterminés ou indéterminés.

On dit qu'un problème est déterminé ou indéterminé selon qu’il admet un nombre limité ou un nombre illimité de solutions.

Ainsi, le problème qu’on vient de résoudre et do discuter est un problème déterminé.

Mais, si l’on se propose de décrire une circonférence qui fuisse par Jeux points donnes A , B, ce problème est indéterminé.

Car on peut décrire autant de circonférences qu’on voudra passant par les deux points A, B, pourvu que le rayon de chacune de ces circonférences soit plus grand que la moitié de la droite AB ou au moins égal à cette moitié.

Renuu-Que. — En supposant qu’on ait vu le n° 36, on peut conclure : que le lieu géométriQite des contres de toutes c es circonférences est la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite AU.

sur l’addition DES ANGLES,

Si deux angles

donnés, qu’il s’agit d’ajouter, étaient respectivement égaux aux angles AOB, BOA’, formés par le diamètre AA’ et le rayon OB, leur somme serait l’angle AOA’ dont les côtés sont en ligne droite.

Ainsi, contrairement à l’acception vulgaire du * mot angle, les deux parties OA, OA' d’une même droite AA' peuvent être regardées comme étant les côtés d’un angle. De même, la somme des deux angles AOB, BOC est l’angle AOC qui intercepte

l’arc ABA'C.

On voit donc que les rayons OA, OC forment deux angles : l’un qui intercepte l’arc ABA'C et qui est plus grand que l’angle AOA', l’autre qui intercepte l’arc AMC et qui est plus petit que l’angle AOA'.

Lorsqu’il est question d’un angle AOC, il faut toujours entendre qu’on parle du plus petit des deux angles compris entre les côtés OA, OC, à moins qu’on n’exprime le contraire.

Reman/ue. — En vertu du n" 70 du texte, l’angle AOB est plus petit que deux droits, l’angle AOA' est égal à deux droits et l’angle AOC, qui est la somme des angles AOB, BOC, est plus grand que deux droits.

SLR LA PERPENDICULAIRE ET LES OBLIQUES ABAISSÉES D’UN POINT SUR UNE MÈRE DROITE.

On peut démontrer le théorème énoncé au 11“ 71 de la manière suivante :

■JL-

Supposons que du point A on ait abaissé sur la droite jcy la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, et } que les distances BC. BD soient égales ; je dis

/i\ qu'on aura

AB < AC

AC = AD