SUR LE R AC PORT DE LA DIAGONALE AU CÔTÉ DU CARRÉ

Au moyen des connaissances acquises dans le premier Livre, on peut démontrer que lu diagonale AC et te côté AB d’un carré ABCL) sont deux lignes incommensurables entre rites.

lin effet, par les points B, D, menons des parallèles à la diagonale AC

NOTES Si' H LE LIVRE I. — NOTE I<). 335

et par les points A, C, menons des parallèles à la diagonale DB. ün démontrera facilement qu’on détermine ainsi lo carré EFGH (109), dont le côté EF est égal à AC, et l’on verra aussi que le triangle OAB est contenu quatre fois dans lo carré ABCD et huit fois dans le carré EFGII ; d'où il résulte que la surface EFGH est double de la surface ABCD, ou, en d’autres termes, que le rapport de la première surface à la seconde est a.

Maintenant, construisons séparément les deux carrés ABCD, EFGH, et supposons, s’il est possible, que la diagonale AC ou son égale EF ol le côté AB soient commensurables et qu’une commune mesure Al pui-se êtreportée n fois sur les côtés égaux AB, AD, et m fois sur les côtés EF, EH.

Alors, comme on a AC > AB et AC <a AB, on aura — > i et — <2.

D’ailleurs, on peut supposer que la fraction ™ soit irréductible.

Cela posé, par chaque point de division des côtés AB, AD, élevons sur ces côtés des perpendiculaires. Eo carré ABCD contiendra // fois le rectangle ABKL, et ce rectangle contiendra aussi n fois le carré AIPL; d’où il suit que ABCD contient le carré Tait sur AI un nombre do fois marqué par « x n ou n'. De même, par chaque point de division des côtés EF, EI1, élevons sur ces côtés des perpendiculaires, et le carré EFGII contiendra le carré fait sur la commune mesure AI un nombre de fois marqué par m x m ou //<’.

Ainsi, le rapport de la surface EFGH à la surface ABCD serait Or.

ni1

on a vu plus haut que ce rapport était a ; donc le carré — de la fraction

irréductible ™ devait être égal au nombre entier -x, ce qui est impossible.

Donc, il est pareillement impossible que la diagonale et le côté du carré aient une commune mesure, et par conséquent ces deux lignes sont incommensurables.