SCR LA DEFINITION DU RAPPORT DE DEUX GRANDEURS INCOMMENSURABLES

Pour arriver à la notion et à la définition du rapport de deux grandeurs incommensurables, on peut procéder comme il suit.

Soient deux grandeurs incommensurables A, B, et concevons que la grandeur B soit divisée en n parties égales. Si l’on prend successivement i, a, 3, 4,. . . de ees parties, on obtiendra une suite de grandeurs

qui pourront croître au delà de toute limite, et par conséquent on finira par trouver deux grandeurs consécutives A„ et A„+l , qui comprendront la grandeur A et dont les rapports à la grandeur B seront respectivement

— et

Alors, la différence entre A-+l et A„ est égaie à la n‘>m partie de B;

et comme on peut supposer le nombre n aussi grand qu’on voudra, il s’ensuit que la différence A„+, — A„, peut devenir aussi petite qu'on voudra. Donc la grandeur A est la limite (* ) vers laquelle tendent les deux grandeurs A„+1 et A„ lorsque le nombre n croit indéfiniment.

Mais, "en même temps que la différence A„+1— A„ décroît indéfiniment,

la différence entre les rapports — et — qm est - décroît aussi indéfi- , m + 1 ni

nimenl; d'où il résulte que les rapports — -—et — tendent aussi vers

une certaine limite qui, ne pouvant être ni un entier, ni une fraction, est un nombre appelé incommensurable. Et c'est cette limite commune ou ce nombre incommensurable qui est le rapport de la grandeur K a la grondeur B.

Ainsi, lorsque deux grandeurs A et B sont incommensurables, au lieu de définir le rapport de A à B comme nous l’avons fait au n* IG3, on peut dire : que ce rapport est la limite vers laquelle tendent les rnp/mrts des gandeurs, moindres que A et commcnsurables avec B, à là grandeur B, lorsque ces grandeurs s'approchent indéfiniment de A.

Remarque. — Au n” 161 on a défini le rapjmrt d'une grandeur à une autre de même espèce, en supposant que les deux grandeurs étaient commcnsurables, et alors, au n” 163 et dans cette Note, on a été obligé de définir le rapport d'une grandeur à une autre grandeur incommensurable avec la première. Mais, si l’on remarque que tout rapport incommensurable est compris entre doux rapports commensurables, dont la différence peut devenir aussi petite qu’on voudra, et qu'en général on substitue (soit par la pensée, soit effectivement dans les applications) à un rapport incommensurable l'un des deux rapports commensurables qui le comprennent, il en résulte qu’en définitive on ne considère que des rapports commensurables, et, par conséquent, on peut à la rigueur se borner à la définition donnée au nMOl, en laissant de côté la restriction qu’elle comporte.

Du reste, en supposant qu’on ait appris en Arithmétique ce qu'on entend par nombre incommensurable, on aurait pu adopter immédiatement cette définition générale :

On appelle rapport d’une grandeur à une autre de mémo espèce, le résultat de la comparaison de la première grandeur à la seconde, c’est-àdire le nombre (rommensurable ou incommensurable) qui exprime comment la première grandeur peut s'obtenir au moyen de la seconde.

SLR LA DÉFINITION DU PRODUIT D’UNE GRANDEUR PAR UN NOMBRE INCOMMENSURABLE.

Au lieu de la définition donnée au n° 165, on peut adopter celle-ci :

Le produit d'une grandeur par un nombre incommensurable N est ta limite vers laquelle tendent tes produits de la grandeur donnée par des

(•) Voir la dcfinilion du mot limite au commencement de cet ouvrage : Termes et signes employés en Géométrie.

NOTE ai.

NOTES SUR LE LIVRE II. — NOTE ai. 337

nombres commensurnbles tnoimlrrs que N, lorsque ces nombres s'approchent indéfiniment r/c N.

Remarque. — Cotti' définition étant adoptée, on dira toujours que le quotient d’une grandeur par un nombre incommensurable est la grandeur qu'il faut multiplier par ce nombre pour reproduire la première (166).

St' R I.E R.ll'PORT DE LA DIAGONALE Al! COTÉ DU CARRÉ. — SUR l'ÉUALITÉ ENTRE LE RAPPORT DR DEUX GRANDEURS ET CELUI DE LEURS MESURES.

Sur le rap/mrt r/e ht diagonale au côté du carré.

Sans employer le raisonnement de la réduction à l'absurde, comme dans la Note 16, on peut faire voir que la diagonale et le côté d'un carié sont des lignes incommensurables. Pour cela, nous allons d’abord démontrer le lemme suivant.

Lemme.

Le côté rie l'angle droit d'un triangle, rectangle et isocèle, contient deux fois la différence entre l'hypoténuse et ce côté, plus un reste moindre que cette différence.

Soit le triangle ABC, rectangle en B et isocèle, et ,c prenons sur AC la droite AE égale à AB; le reste EC r, sera moindre que AB (90), et je dis que le côté AB ou son égal BC contient deux fois EC, plus un reste / inoindro que EC.

Pour le démontrer, du point E élevons sur AC la ' ~'a perpendiculaire EF, qui rencontre BC au point F, et

menons la droite AF. Alors, dans les triangles rectangles ABF, AEF, l’hypoténuse AF est commune et les célés AB, AE sont égaux; donc ces triangles sont égaux, et l’on a BF = FE.

D’ailleurs, l'angle ACB étant égal à un demi-droit (91), le triangle rectangle FEC est isocèle; donc FE = EC, et, |>ai- suite, on a