D'B E'C AD“ “ AE

ou bien

AD' AE'

Remarque. — Au n“ 221 on a démontré cette réciproque : Si une droite DE divise deux côtés AB, AC d’un triangle en parties proportionnelles, cette droite est />ara llèle au troisième côté BC.

AD' AE'

De même : i° Supposons qu'on ait prg= gx”’ i® dis (iue *a droite D'E' est parallèle au côté BC. Car do la proportion donnée on tire

AD' AE'

* AD' - D'B ~ AE' - E’C on

AD; AE'

AB " AC

Ainsi, les triangles AD'E', ABC sont semblables comme ayant un angle commun compris entre côtés proportionnels; donc (203) D'E’ est parallèle à BC.

AD' AE

a0 Supposons qu'on ait je dis que la droite D'E' est pa-

rallèle à BC. Car de la proportion donnée on tire

AD' AE

D'B - AD' “ E'C - AE* ou

AD' AE

AB AC ’

Ainsi, les triangles AD'E', ABC sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; donc les angles alternes- ’ internes ABC, AD'E’ sont égaux, et par conséquent E’D' est parallèle à BC.

Variations du rapport des distances d’un point, qui se meut sur une droite indéfinie, h deux points fixes pris sur cette droite.

Soient uno droite indéfinie xy et deux points fixes A, B pris sur cette

droite, et supposons qu’un point M partant du point A se meuve sur xp' , d'abord dans le sens Ay et ensuite dans le sens Ax ; il s'agit d'étudier MA

les variations du rapport que nous désignerons par r .

Lorsque le point M se confond avec le point A, la distance MA est nulle et la distance MB est égale à AB; donc r = o.

Si le point M se meut de A vers le point O, milieu de AB, le numérateur MA augmente et le dénominateur MB diminue; donc le rapport r croît d'une manière continue, c’est-à-diro par degrés insensibles, et lorsque le point M se confond avec le point O on a r = i.

Si le point M se meut de O vers B, le numérateur MA continue à augmenter et le dénominateur MB diminue en tendant vers zéro; donc la valeur de r croit indéfiniment, et lorsque le point M se confond avec le point B, on a r = oo {*).

Si le point M continue à se mouvoir dans le même sens et qu il vienne se placer en un point quelconque de B/, en M, par exemple, on a