OA

D’un point quelconque S menons au centre du cercle O et à un point A de la circonférence les droites SO, SA, et déterminons sur ces droites les points o, a tels que

SO SA , s7~s^~a'-

donc la longueur de oa est conslante, et, par conséquent, le lieu des points tels que a est une circonférence qui a pour centre le point o, et pour rayon la droite oa.

Remarque. — Les deux circonférences 0, a sont homothétiques directes, et les rayons homologues OA, oa sont parallèles et dirigés dans le même sens.

On peut prendre les distances So, Sa sur les prolongements des droites OS, AS ; alors les deux circonférences sont homothétiques inverses et les rayons homologues OA, oa sont parallèles et dirigés en sons contraires.

Théorème II.

Deux circonférences quelconques homothétiques inverses.

Car les triangles semblables SOA,

0, o sont homothétiques directes et

Menons les rayons OA, oa parallèles et dirigés dans le même sens, et soit S le point de rencontre des droites Oo, Àa; je dis d’abord que te point S sera toujours le même quelle que soit la direction des rayons OA, oa.

Soa donnent

et par suite, ou

SO OA So oa ’

SO — So OA — on S* oa

Oo OA — oa So oa

Or, dans cette proportion, les termes Oo, OA — oa et oa sont constants; donc So l'est pareillement.

Cela posé, les triangles SOA, Soa donnent aussi

SA Sa —

— = const.

donc les circonférences 0, o sont homothétiques directes.

Maintenant, soient les rayons OA, oa' parallèles et djjigés en sens contraires, et menons la droite A a' qui rencontre Oo au point S'. On verra, comme ci-dessus, que le point S' reste le même quelle que soit la direction des rayons OA, oa'; et, à cause des triangles semblables S'OA, S'oa', on aura

SVA OA ,

S’a’ oa' ’

donc les circonférences 0, o sont homothétiques inverses.

Remarque 1. — Une ligne courbe est dite semblable à une courbe donnée, lorsqu'elle est égale à l’une des courbes homothétiques à la courbe donnée.

Donc, deux circonjérences sont des lignes courbes semblables.

Remarque II. — Le point S -est le centre de simi/ittule directe des deux cercles O, o, et le point S' est leur centre de similitude inverse.

Les distances SO, So sont proportionnelles aux distances S'O, S'o; car on a

SO OA &0

S o oa S'o

Lorsque deux cercles se touchent extérieurement , leur point de contact est leur rentre de similitude inverse, et s’ils se louchent intérieurement, leur point de contact est leur centre de similitude directe. Les centres do similitude do deux cercles concentriques se confondent avec le centre commun à ces cercles.

Remnrr/iie III. — Deux arcs homothétiques AB, ab corres/xindent à des angles au centre égaux AOB, anb. Car ces angles ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le môme sens. .

Si deux arcs sont homothétiques inverses, les côtés des angles au centre qui leur correspondent sont parallèles et dirigés en sens contraires.

Donc, deux arcs de cercle semblables correspondent à des angles au centre égaux ; et l’on peut remarquer que celte proposition est conforme à la définition des arcs semblables donnée dans le quatrième Livre du texte (288).

Rcmart/ue IV. — Les tangentes menées à deux circonférences par des points homologues sont parallèles. Car, les rayons menés aux points de contact étant parallèles, les tangentes le sont aussi.

Les tangentes communes à deux circonférences passent par l'un ou par l'autre des centres de similitude. Car les rayons menés aux points de contact sont parallèles.

De là un nouveau procédé pour mener une tangente commune à deux cercles donnés 0, o. On trace dans le premier cercle un rayon quelconque OA et dans le second un diamètre aa’ parallèle à OA; on tire les droites A a, An' qui coupent la ligne des centres aux points S, S', et les tangentes menées de ces points à l’un des cercles sont aussi tangentes à l’autre cercle.

Remarque V. — Les centres de similitude directe S, T, U de trois cercles, considérés deux à deux, sont en ligne droite. On le démontrerait en suivant la même marche que dans le dernier théorème de la Note 31 .

De même, deux centres de similitude inverse S', T', par exemple, et le centre de similitude directe U sont situés sur une même ligne droite.

La ligne STU est l’axe de similitude directe des trois cercles, cl chacune des trois droites S'T'U, S'U'T, S U 'T' est un axe de similitude inverse.

Remarque VI. — Le point S étant l'un des centres de simili tuile de

deux cercles 0, o, si l’on mène par ce point deux sécantes qui déterminent les points A, B, C, D rl leurs homologues a, b, c, d, les quatre points A, C, d , b seront sur une meme circonférence, et il en sera de même des quatre points B, D, c, a.

Car, les droites homologues AC, ac étant parallèles, l’angle A est égal à l’angle S«r; mais, le quadrilatère acdb étant inscrit, l’angle Sac est le supplément de l'angle rr/i; donc le quadrilatère ACdb est inscriptible. On verrait do même que les quatre points B, D, c, a sont sur une même circonférence.

Si, au lieu du centres de similitude directe, il s’agissait du centre S' de similitude inverse, les droites A b, Cd seraient les diagonales du quadrilatère AC db. Alors l’angle A sorait égal à l’angle S1 ac, et, par suite, à l’angle S 'db ; donc, en décrivant sur Ci un segment capable de l’angle A, l’arc de ce segment devrait passer par les points A et d, d’où il résulterait que le quadrilatère AC db serait inscriptible.

Définitions. — Le point S étant l’un des centres de similitude do deux cercles O, o, si on mène la sécante Sa, par exemple, qui coupe les circonférences aux points A, B, a, b, les deux points A et b sont dits antihomologues, ainsi que les deux points B et a.

On appelle cordes anti-homologues deux cordes telles que AD et bc, dont l’une joint deux points A et D de la circonférence O, et dont l’autre joint les points b et c anti-homologues des premiers.

‘Conséquence. — Deux couples de points anti-homologues A et b, C et d sont sur une même circonférence.

SUR LE PREMIER THÉORÈME RELATIF AUX DROITES PROPORTIONNELLES. — VARIATIONS DU RAPPORT DES DISTANCES D’UN POINT, QUI SE MEUT SUR UNE DROITE INDÉFINIE, A DEUX POINTS FIXES PRIS SLR CETTE DROITE. — FAISCEAU COÛTÉ PAR DEUX PARALLÈLES.

Sur le premier théorème relatif aux droites proportionnelles.

Dans la démonstration de ce théorème on suppose (218) que la droite DE, parallèle au côté BC, coupe les deux autres côtés du triangle ABC, et l’on a