M,A M,B - AB AB

D’ailleurs, à mesure que le point M se meut indéfiniment à partir du point A dans le sens Ar, le dénominateur M,B croît de AB à » , et par AB

conséquent le rapport décroit de i à o; donc r varie de o à 1.

Ainsi :

i° Il existe toujours, sur une droite donnée AB, un point dont les distances aux tsoints A et B sont entre elles dans un rapport donné — , et il

n’en existe qu’un seul.

a° Il existe toujours, sur les prolongements d’une droite donnée AB un point dont les distances aux points A et B sont entre elles dans sut

(*) Pour exprimer qu'une quantité variable, r par exempte, peut surpasser tel nombre qu’on voudra, on dit qu'elle peut prendre une valeur infinie, et l’on représente cette valeur par le symbole » qui s'cnonce : l’infini.

NOTES SUE LE LIVRE 111. NOTE 34* 3(x)

rap/sort donné — , et il n'en existe qu’un seul (en supposant toutefois

que re rapport ne soit pas égal à i).

Ou, en d’autres termes :

Il existe toujours, sur une droite indéfinie J- A B r, deux fmints et seulement deux, tels que tes distances de chacun de ces //oints aux //oints A

in

et B soient entre elles dans un ra////ort donne - (en supposant toutefois que ce rapport ne soit pas égal à i).

De plus, si l’on a— < l, l’un (le ces //oints est situé sur la d/vite AO,

moitié de AB, et l’autre sur Ax; et, si l’on a l, Pun des points est

situé sur OB et l’autre sur B r : (Pou il résidte que ces deux points sont

toujours situés d’un même côté du milieu 0 de la droite AB.

Reman/ue. — En se fondant sur ces conclusions, il est facile de démontrer les trois réciproques auxquelles donne lieu le premier tliéurème relatif aux droites proportionnelles.

, AD’ AE’ , ■ i n r i

Par exemple, supposons qu on ait jj»g = jr£ (voir la i ligure de

cette Note) ; jo dis que D'E' est parallèle à BC.

En effet, concevons que par le (joint D' on mène une parallèle à BC. Cette parallèle doit déterminer sur CE’ un point tel, que ses distances aux pointe A etC soient entre elles comme AD' est à D'B ; or le point E' jouit de cette propriété, d’après l’hypotlièse, et il est le seul point du prolongement de AC, au delà du point C, qui en jouisse; donc D'E' est parallèle à BC.

Problème 1.

Étant donné un point C sur une droite AB et en supposant AC > CB , déterminer, sur le prolongement Bx de AB, le point D dont les distances aux points A et B sont pm/mrtionnellcs aux distances AC et CB.

4 CS |J r

Pour cela, sur la droite indétinie Av, on prend AC’ = AC, C'B'= BC; on joint le point B' au point B cl l’on mène C'D parallèle à B'B; alors le point D où cette parallèle coupe Bx est le point cherché. Car on a (218)

AD

Bl)

AC'

et, par suite,

AD

AC

BD ~ CB-

Reman/ue I. — Si, au contraire, le |>oiiit D était donné et qu’il s’agit

, AC AD

de déterminer sur AB le point C de maniéré qu on eut ^ = gg, il suturait de diviser la droite AB en deux parties proportionnelles aux droites ADet BD. Alors on prcndiail sur xr (223) une longueur AD' — AD et, à Éléments,

la suite, D'B' = BD; on joindrait B’B ei l'on mènerait D'C parallèle à B" B, qui couperait AB au point C demandé.

Remarque JJ. — Le point C divise réellement la droite AB en deux segments AC, BC, et, par extension, on regarde souvent le point D comme divisant aussi la droite AB en deux segments AD, BD. Ainsi, on dit que les points C et D divisent la droite AB en segments proportionnels .

Lorsqu’il y a lieu de distinguer les segments AC, CB, dont la somme est égale à AB, des segments AD, BD, dont AB est la différence, on qualifie les premiers segments à’ additifs et les seconds do soustractifs.

Problème IL

Étant donnés une droite indéfinie xy et deux points A, B sur cette droite, déterminer sur xy les deux points C et D tels, que tes distances tic e/utcun d’eux aux points A et B soient entre elles comme deux droites données m et n.

M Pour cela, on mène

par le point A une droite AM = m et par

le point B une parallèle

11 ,J à AM, sur laquelle on prend BN = BN ' = n ; puis on tire les droites MN' et MN qui rencontrent xy aux points demandés C et D.

Car, les triangles AMC et AMD étant respectivement semblables aux triangles BN’C et BND, on a

AC AM

CB - BN' ~ n

et

AD AM m BD ~ BN ~ n

Remarque J. — Les points C et D sont les centres d’iiomothélie inverse et directe des cercles qui auraient pour centres les points A et B, et pour rayons les droites AM et BN (voir Note 33, théor. II).

Remarque JJ. — On voit facilement que ce problème comprend Io précédent, c'est-à-dire qu’il peut servir à trouver le point D ou le point C, lorsqu'on connaît le point C ou le point D. Pour déterminer le point D, par exemple, il suffit de prendre les droites AM et BN égales aux droites AC et CB.

Faisceau cou/té par deux parallèles.