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«A-A~jc-y
Définitions. — On appelle faisceau un système quelconque de droites SA, SB, SC, SD qui passent par un même point S.
Ce point est le centre du faisceau et les droites SA, SB, ... en sont les rayons.
Remarque J. — D'après ce qui a été vu dans celte Note, on peut conclure que, si l’on coupc un
faisceau de plusieurs droites SA , SB. SC, SD par deux parallèles AD et ad, on aura la suite de rapports égaux
S a S A Sc S d
«A A B cC d D ’
quelle que soit la position du point a par rapport aux points S et A.
Remarque II. — Lorsque deux points a et A sont situés sur les côtés SA, SB du triangle SAB, ou sur les prolongements de ces côtés au delà des points A et B, ou sur les prolongements de ces côtés au delà du point S, et qu’on a la proportion
Sa S b a A AB'
il a été démontré que la droite aA est parallèle à AB.
Mais conce\ons deux pointsa’ct A’ situés respectivement stir les droites indétinics SA, SB, et supposons qu’on ait
Sa’ SA'
<7Â "Alt’
alors, comme il existo sur la droite SA deux points dont les distances aux points S et A sont entre elles dans un rapport donné, et sur la droite SB deux points dont les distances aux points S et B sont aussi entre elles dans ce même rapport, il s'ensuit que la proportion ci-dessus n’entraine pas le parallélisme des droites AB, a' b', si l’on ne suppose pas en outre que la position du point a' par rapport aux points S et A est la môme que celle du point A' par rapport aux points S et B.
STR L.NE PARALLÈLE AUX RASES d’UN TRAPÈZE ET SUR LE CENTRE DES MOYENNES DISTANCES D’UN TRIANGLE.
Si une droite EF, /xirallèle aux bases AB et DC d’un trapèze, divise les deux aufres côtés dans le rapport de ni à n, de telle sorte que
DE CF m „„ ai . AB -t- n . CD . ,
gj = — = — , on ultra EF = — — (m. AB signifie m x AB. )
Menons la diagonale DB. A cause do la similitude des triangles DEG, DAB et de celle des triangles BGF, BDC, on a
EG = AB x = AB x ,
DA m -+■ n
GF = DC x ®£ = DCx—
BL. ni -f- n
donc
EF = EG -H GF = m • AB -4- n . DC
Remorque J. — Lorsque le point E est sur le prolongement rie DA, au-dessous de AB, la formule (i) devient
«».AB — n.DC ni — n ’
EF
et, si le point E élait sur le prolongement de AD, au-dessus de DC, on
aurait
EF
// . DC — m . AB
Remarque II. — En menant l'autre diagonale AC, les triangles semblables AEI1, ADC donnent aussi
donc
AF n
EH = DC x ££ = DC x — — ;
AD m -f n
HG = EG - EH =
m . AB — n. DC
Le lecteur trouvera sans difficulté les modifications qu'éprouve celle formule, selon que la droite EF coupe l’un ou l'autre des prolongements de AD.
Remarque III. — Lorsque m — n, les formules (i) et (2) donnent
EF
AB 4- DC
IIG =
AB - DC
et on retombe ainsi sur les résultats obtenus aux n“ 122 et 123.
Remarque IV. — De ce théorème on déduit facilement le théorème suivant, qui a déjà été démontré dans les Notes 10 et 29.
Théorème IL
Si des trois sommets d'un triangle ABC et du point d'intersection O île ses médianes on abaisse des jierpendirulaires An, BA, Ce, Oo sur unidroite xy extérieure au triangle, la quatrième perpendiculaire sera une moyenne arithmétique entre les trois autres.
Car la droite Oo est parallèle aux bases du trapèze ADrfn, et, de plus, les droites AO, OD sont entre elles comme 2 est à 1 ; donc on a
n A « 4- a D<7 An -4- B A 4- Ce
Remanpte. — Si la droite xy coupait le triangle ABC et que l'un des sommets, B par exemple, fût d'un côté de xy, tandis que les points O, A, C seraient de l'autre, on aurait
Uo — •
Si la droite xy laissait d'un côté les deux sommets B, C et do l'autre les points O, A, on aurait
A a — Bô — Ce
Et enfin, si la droite xy passait par le point O, en laissant d’un côtelés deux sommets B, C et de l'autre le sommet A, la distance O» serait égale à zéro et l'on aurait
o — A a — B b — Ce ou
An = B b Ce.
On démontrera facilement les trois égalités ci-dessus, en se fondant sur le théorème I et sur les remarques II et III qui le suivent.
