CALCULS RELATIFS AU QUADRILATÈRE INSCRIT. THÉORÈMES SUR
LE QUADRILATÈRE NON INSCRII'TIBLE.
Calculs relatifs au quadrilatère inscrit.
Connaissant les côtés a, b, c, d, d’un quadrilatère inscrit, nous allons calculer les diagonales et la surface de ce quadrilatère, ainsi que le rayon du cercle qui lui est circonscrit.
On a (256,257)
Calcul des diagonales 3, 3'.
33' = ac bd
3 ad -f- bc d ' ab cil'
et, si l'on multiplie ces égalités membre à membre, puis qu’on divise la première par la seconde, il vient
,j (ar bd) (ml -b br) ab -f- cd
, ( ac -+- bd) ( ab -f- cd)
ad -+■ bc
On connaît ainsi les valeurs de 3 ’ et deô°, et, par conséquent, celles de 5 et de 3'. *
Calcul de la surface S.
Prolongeons les côtés CB, DA jusqu'à leur rencontre au point E; désignons la surface du triangle EBA par T et ses côtés B EB, EA par x, y. Les triangles ECD, EBA seront
semblables; donc (208)
T = i ^(x -hy~h a) (x — a) (a + x — r) (r/ + r — x] •
et il s’agit d évaluer chacun des facteurs de la quantité placée sous le radical en fonction des côtés a, b, c, d.
Or, les triangles semblables ECD, EBA donnent
de plus, lorsqu’on a une suite de rapports égaux, si l'on combine plusieurs numérateurs par voie d’addition et de soustraction et que l'on combine de la même manière les dénominateurs correspondants, on sait que le quotient du premier résultat par le second est égal à chacun des rapports
proposés; ainsi l’on a
et, par suite,
/+rf+j+t+f r r+/-( -a ~ a'
y -h il -t- x 4- b — c __ c x -h y — n ~~ a ’
il -h b -h c — a
x-hy-ha
il -h b — c -h a
a-hx—y
c 4- b — il -h a
c -ha
a-j-y — x il
De ces proportions on tire
x y a — ^ ^ (ri -h b -h r — a),
x-hy — a = — — Ul+b — c -h a), c — a
<i + x — y — lc-htl — h 4- n),
a +y — x = — ; — [c -+- b — il 4- « ) :
donc
T = --j ïV (d+b + c — a)[U-hb -ha — c) ( c-hil-ha — b) {c-hb-+-a—‘t)-
et, par conséquent, on aura
(i) S= 7 \J[il-hb-hc — a){c-h<i-ha — b)(tl-h b -h a — c)[cy- b-ha — d)
Enfin, si l’on pose
a -h b -h c -h il — ip,
et que l'on retranche successivement in, ib, ic, ni, des deux membres, on a
b + e -+- il — a = a (p — a), a -h c -+- U — b = a (p — b), a -h b -h <1 — c — i[p — c), a -h b -h c — il — 1 [p — il).
Alors la formule (i) devient
S = \KÎ>~— “) iP~b) {p~c) (P—*1)'
Donc, la surface d’un quadrilatère inscrit est égale à la racine carrée du produit des quatre restes qu’on obtient en retranchant successivement du demi-périmètre chacun des quatre côtés.
Calcul du rayon R du cercle circonscrit.'
En désignant par S la surface du quadrilatère, on a (237, rem. )
d'où
S { ab -f- cd) = S x 4 R.
S I nb cd)
et, si l’on remplace S et S par leur» valeurs, il vient
j/(«c-4- bd) {ad -H lie) { rdi + cd)
4 \J (p — aj (P- h) (p — ~c) (p- d)
Théorèmes sur te quadrilatère non inscriptiblc.
Théorème 1.
Dans tout quadrilatère non inscriptiblc ABCD, le produit des diagonales est moindre que la somme des produits des côtés opposés.
Par les trois sommets B, A, D, faisons passer une circonférence; construisons l’angle DAE égal à l'angle BAC et l’angle ADE égal à l'angle ACB. On voit d’abord que la droite DE ne coïncidera pas avec la diagonale BD; car, le sommet C n’étant pas situé sur la circonférence, les angles ADB, ACB sont inégaux : et joignons le point E au point B.
Les triangles ABC, ADE, équiangles i>ar conslruc-
