AC CD AB ~ BR

NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 43. 4î3

d'où

(>) AC x BE = AB x CD.

Ajoutant membre à membre les égalités (i) et (a), il vient

AC (ED + BE) = AD x BC ( AB x CD;

mais la ligne brisée BE + ED est plus grando que la droite BD ; donc on a

AC x BD < AD x BC + ABx CD.

Coroltnire. — Un quadrilatère est inscriptiblc, lorsque le produit de ses diagonales est égal à la somme des pros/uils de ses côtés opposés.

Théorème II.

Dans tout quadrilatère non inscriptiblc, les diagonales ne sont j>as entre elles comme les sommes des produits des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.

Soit le quadrilatère ABCD, dans lequel la somme des angles A et C est

plus grando que celle des angles B et D ; je dis qu'on a

AC . AB x AD + BC. x CD BD < AB x BC+ÂD x DC‘

En effet, supposons que la somme AB -f- BC soit moindre que la somme CD -+- AD, et du point B comme centre, avec BC pour rayon, décrivons un arc CC, qui rencontre le côté AB prolongé au point C, ; prenons sur cet arc un point quelconque C' et menons les droites BC', AC'. Les triangles ABC', ABC ont deux côtés égaux chacun à chacun et l’angle ABC' est plus grand que l’angle ABC; donc le côté AC' est plus grand que le côté AC, et, comme le côté AC du triangle ACD est plus grand que la différence des deux autres, on aura, à fortiori, en supposant CD > AD,

AC' > CD - AD

D’ailleurs on a aussi

AC’< AB-fBC',

et, par conséquent,

AC' < CD 4- AD

Donc on peut construire le triangle AC'D' dans lequel AD'=ADet C'D'= CD, et l’on obtiendra ainsi le quadrilatère ABC'D' dont les quatre côtés sont respectivement égaux à ceux du quadrilatère ABCD et dont les diagonales sont AC' et BD'.

• Cela posé, les triangles AC'D’, ACD ont deux côtés respectivement égaux et le troisième côté AC' du premier est plus grand que le troisième côté AC du second; donc l’angle AD'C' est plus grand que l’angle ADC, et, comme l’angle ABC’ est déjà plus grand que l’angle ABC, il s'ensuit que la somme des angles ABC', AD'C' est plus grande que la somme des angles ABC ADC.

4li «OTES SUR LE LITRE III. — NOTE 43-

Maintenant, concevons quo lo point C\ d’abord placé en C, se meuve sur l’arc CC, et que pour chaque position du point C' on construise un quadrilatère tel que ABC'D'. Alors la somme des angles ABC', AD'C' devient de plus en plus grande, et, lorsque le point C' sera en C„ il est facile de voir que cette somme sera plus grande que deux droits.

Ainsi, la somme de ces deux angles, qui à l’origine du mouvement était moindre que deux droits, est devenue plus grande que deux droits; donc il doit y avoir une position du point C' pour laquelle cette mémo somme est égale à deux droits, et dans ce cas le quadrilatère ABC'D', étant inscriptible, donne

AC' ABx AD' + BC'xC'D'

BD' ~ AB x BC’-t- AD'x D'C'"

Or, on a AC’> AC; do plus, la somme des angles BAD', BC'D' étant moindre quo la somme des angles BAD, BCD, l'un des premiers angles, au moins, l’angle BAD' par exemple, est moindre que l’angle BAD qui lui correspond, et, par suite, en comparant les triangles ABD', ABD, on a BD'<BD. Donc, en remarquant que AD' = AD, que BC'= BC, etc., on aura l’inégalité

AC ^ AB x AD 4- BC x CD BD ' AB x BC -t- AD x DC

On a supposé au commencement de cette démonstration que la somme des côtés AB, BC était moindre que la somme des côtés AD, PC; mais le raisonnement reste le même lorsque ces deux sommes sont égales.

Corollaire. — Un quadrilatère est inscriptible, lorsque ses diagonales sont entre elles comme les sommes des produits des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.

Remarque /. — Avec quatre côtés donnés AB, BC, CD, DA, dont le plus grand est moindre que la somme des trois autres, il est clair qu’on peut former un quadrilatère ABCD; donc, d’après le théorème précédent, on peut avec ces memes côtés construire un quadrilatère inscriptible dans un cercle. D’ailleurs, lorsque les côtés AB, BC, CD, DA d’un quadrilatèru inscriptible sont donnés, sa diagonale, AC par exemple, est déterminée (voir la première partie de cette Note), et do là il est facile de conclure qu’«irc ces côtés on ne peut construire qu’un seul quadrilatère insenptib/e ABCD (*).

Cela posé, on peut démontrer de la manière suivanto la réciproque énoncée dans le corollaire ci-dessus :

Soit un quadrilatère ABCD et supposons qu’on ait

AC AB x AD 4 BC x CD BD ~ AB x BC + AD x DC’

je dis que ce quadrilatère est inscriptible.

En effet, concevons qu’avec les côtés de ABCD on construise un qua-

(*) Il sera démontre plus généralement, dans la Note 52.(theor. Il), qu’<i<re des côtés donnés , qui doivent te succéder dans un certain ordre et dont le plus grand est moindre que la somme de tous tes autres, on peut toujours foi mer un polsgonc corne xe inscriptible et qu'on n'en peut former qu’un seul.

N0TE9 SlIR LE LIVRE III. NOTE 44* 4’5

drilatère inscriplible A'B'C'D'; on aura

AC' A'B'x A'D'-f- B'C'x C'D'

et, par suite,

AC AT'