H + VR,+T
Application. — Trouver le côté C', de l’octogone régulier circonscrit sachant que le côté du carré circonscrit C', = a R. On aura
aR:
R i/lT + R'
Des polygones étoiles.
Théorème.
Si une circon férence est divisée en in parties, égales ou inégales, par tes points o, i , a, 3 m — a , m — l , et que l'on joigne ces points de n en n, à partir du point o, par exemple, on finira toujours par revenir au point de départ.
Caries nombres n, in, 3/»,. . pn, diminués des multiples de ni qu'ils peuvent contenir, représentent les points par lesquels on passe successivement, et, pour que l’on revienne au point de départ o, il fiant et il suffit évidemment que pn soit le plus petit multiple de ni et de //. Or, d’après une proposition d’arithmétique, cette condition nécessaire et suffisante sera remplie, si p est égal au quotient a du nombre m divisé parle plus grand commun diviseur il des nombres m et n. Donc, après avoir passé par a sommets, on reviendra au point o et l’on n’y reviendra pas avant.
Remart/ue l. — On ne passera qu'une fois par chacun des a sommets. Car, si l'on passait une seconde fois par l’un do ces sommets, A par exemple, il s'ensuivrait qu'en joignant les m points proposés de n en n, à partir de A, on serait revenu au point A, tandis qu'ayant commencé à les joindre do n en n à partir de o, on ne serait pas encore revenu au point o, ce qui est impossible.
Remarque II. — Lorsque les nombres m et n sont premiers entre eux, on a d = i et a — m. Donc, dans ce cas, on ne revient au point o qu' exprès avoir rencontré les m points proposés.
Reinan/ue III. — Maintenant, supposons que la circonférence soit
divisée en m parties égales par les points o, r, a, 3 m — a , ni — i ,
et que l’on joigne ces points de n en n («étant moindre que m et premier avec m), on formera un polygone régulier do m côtés, ayant pour sommets les m points de division do la circonférence. Car les cordes qui auront pour extrémités les points o et n, n et a//, in et 3 n, . . . , seront égales et tous les angles formés par deux cordes consécutives seront aussi égaux.
Si l’tn suppose que n soit égal à i, c’est-à-dire qu’on joigne les /« points de i en i, on obtiendra un polygone régulier convexe; dans tous les autres cas, on aura un polygone régulier concave qu'on ap; elle, à cause de sa forme, polygone étoilé.
De là il résulte que l'on peut construire autant do polygones réguliers de m côtés qu’il y a de nombres premiers avec m dans la suite i, 3,..., (m — i). Mais, lorsque l’on joint les m points de division do « en n, on forme évidemment le même polygone que si on les joignait de m — n en m — n, en parcourant la circonférence en sens contrairedonc il y a autant de polygones réguliers de m côtés qu’il y a de nombres
premiers avec /«, dans la suite i, a, 3...., — — -•
Ainsi, il n'y a qu'un seul hexagone régulier, qui est convexe ; il y a deux décagones réguliers, l’un convexe qui résulte de la jonction des
points de i en i, et l'rfutrc étoilé qu'on obtient en joignant les points do 3 en 3; il y a aussi deux pentagones réguliers, l’un convexe et l’autre étoilé, etc.
Problème I.
Calculer le côté AD (lu décagone étoilé ADGKCF1BE1I en fonction du rayon R du cercle circonscrit.
Menons le diamètre BG, qui coupe AD au point L, et le rayon OD. Dans le triangle ABL les angles AB1., ALB sont égaux comme ayant chacun pour mesure deux divisions de la circonférence, et, par conséquent, AB = Al,; on voit de même que le triangle DOL est isocèle et que LD = OD. Donc, le côté AD du décagone étoilé est égal au côté AB du décagone régulier convexe augmenté du rayon OD, cl, en désignant AD par E„. on a
E„ = R ZLl±v. î + R = R i-±£ .
Ainsi, le côté du décagone étoilé est égal nu /dus petit segment soustractif du rayon divisé en moyenne et extrême raison (voir Note il, Sur la division , etc. ).
Problème II.
Calculer le côté AE du pentagone étoilé AEICG en fonction du rayon R du cercle circonscrit.
Concevons que l'on mène le diamètre AK et la corde EF qui est lo rôté du décagone régulier convexe. Le triangle rectangle AEF donnera
ÂË’ = 41V - R1 6--a-^ = R’
donc
AE = E. = B x-V^io + ï i/5.
Remarque. — Il est facile de vérifier que le carré du côté du />cntagonc étoilé inscrit est égal au carré du rayon, plus le carré du côté du décagone étoilé inscrit.
SUR LE CENTRE d'un POLYGONE RÉGULIER.
Nous avons apjielé centre d’un polygône régulier le centre commun du cercle circonscrit et du cercle inscrit î> ce polygone (276).
Il est bon de remarquer que lo contre d’un polygone régulier d'un nombre pair de côtés n’est autre que son centre rie figure (c’est-à-dire un point qui divise en deux parties égales toute droite passant par ce point et terminée de part et d’autre au contour du polygone), ce que l’on démontrerait très-facilement. Mais il n’en est pas de même pour un polygone régulier d’un nombre impair de côtés.
Au contraire, le centro d’un polygone régulier est son centre ries moyennes distances, quel que soit le nombre des côtés du polygone, comme nous allons lo faire voir.
1° Considérons un polygone régulier d'un nombre pair de côtés, l’hexagone ABCDEF, par exemple, et abaissons sur xy les perpendiculaires An, B/>, ..., O o.
En menant le diamètre AOD, on aura ( 122 )
2O0 = An 4- Dr/;
de mémo,
aO o — bb 4- Er, aOo = Ce 4- F f.
Donc
Oo = i(Aa4-B*4-...4-F/).
a" Soit un polygone régulier d’un nombre impair de côtés, le triangle équilatéral ABC, par exemple. Si l’on cir-
conscrit au cercle O un polygone régulier d’un nombre double de côtés, c'est-à-dire l’hexagone régulier DEFGHK, le point de contact A sera le milieu du côté KD, et l'on aura
2 Art = K/- 4- Dr/; on aurait de même
2B6 = Ee 4- F f,
Donc
aCc = G g 4- 11/j.
a A rt 4- a B b 4- a Ce — Dr/ 4- Er? 4- • * . 4- K k z-~ 6 O o ;
et, par conséquent,
0o = I(A«4-BÔ4-Cr).
CALCUL DES APOTHÈMES ET DES SURFACES DE CERTAINS POLYGONES RÉGULIERS. — CALCULS RELATIFS AU PENTAGONE RÉGULIER.
Calcul des apothèmes et des surfaces de certains polygones réguliers. Problème I.
Connaissant le rayon OA d'un ren ie et le cote AB d’un polygone régulier inscrit, tmuver l’apothème de ce /mljgonr.
Soient OA = R, AB = », l'apothème OC = r. En considérant le Iriangle rectangle OAC, on a déjà trou\é (277)
OU
Application*. — i” Trouver l’apolhème r, du carré inscrit dont le côté C4 = R ■ On a
rt = - y/4 R‘ — a R* = - R y/â ;
donc r> — ~À C,, résultat qu'il était facile de prévoir.
Trouver l'apothème r„ de l'hexagone régulier inscrit dont le côté C, = R. On a
