SLR LA MESURE DU SEGMENT CIRCULAIRE
Problème.
Connaissant le rayon OA d’un cercle et le côte AB d'un /mlygonc régulier inscrit île n côtés, trouver le segment compris entre ce eôté et l’arc qu'il sous-tend.
NOTES SCR LE LIVRE IV. — NOTE 50. j
Soient OA — R, AB ■= a , l'apothème OC — r et le serment A .MB S.
M On aura
S — scct. OAMB — triangle OA B;
or lï<j3),
sect.OAMB
ttH1
donc
et
, . , . „ or a H’ — a‘
triang e OAB = — = :
it R ’ a \] !\ H 1 — n1
On a ainsi une formule qui donne la valeur du segment AMD en fonction des nombres n et n dont les valeurs dépendent l’une de l'autre.
Remarque I. — Si a représente le côté d'un polygone régulier qu'on sait calculer au moyen du rayon R, on peut avoir aussi lu valeur du segment AMB en fonction de R.
-Implications. — i° Calculer le segment AMB ou S, sachant que AB est le côté C, du carré inscrit. On a
ttR1 R ch. y/ 4 R’ ” 1 R1 R1, ,
a“ Supposons que AB = C, = R, on aura
c rB' R */4 R» - RJ R’, . pr\
Au contraire, si a représente ou le côté d’un polygone régulier qu'on ne sait pas calculer en fonction de R ou une corde donnée quelconque, la recherche de l’aire du segment S dépend de la Trigonométrie rectiligne, qui ne doit pas faire partie de cet ouvrage, lors mémo qu'on puisse la considérer comme un complément des quatre premiers livres des Eléments de Géométrie, et surtout comme un complément du troisième et du quatrième livre.
Dans le troisième livre on calcule, en fonction des trois côtés d’un triangle quelconque, ses hauteurs, ses médianes, etc.; mais avec ces mêmes données on ne saurait pas calculer les angles du triangle : de même, connaissant deux côtés d'un triangle et l’angle qu’ils comprennent, on ne saurait pas calculer le troisième côté et les deux autres angles, etc. La Trigonométrie donne le moyen de résoudre ces sortes de questions , c’est-à-dire de calculer les valeurs <les côtés et des angles d'un triangle , lorsqu’on a un nombre suffisant de données pour que le triangle soit déterminé.
Remarque II. — On peut calculer l’aire d’un segment AMB ou S au moyen d’une autre formule. On a toujours
S = seet. OAMB — triangle OAB;
NOIES SUR LE LIVRE IV. — NOIE 5l.
or , sect. OAMB = arc AB x ~ ; et , en désignant par A la perpendiculaire abaissée du point A sur OB, qui est égale à la moitié de la corde sous-tendant un arc double de l’arc AMB, on a aussi
triangle OAB = - OB x A = - B // , a a ’
S = (arc AB -A) ?•
D’où il résulte que l’aire <T un segment AMB est égale à l'excès tic son are sur In moitié de la corde qui sous-tend un arc double, multiplié tmr la moitié du rayon.
Applications. — i" Soit l’arc AB = par suite,
a tt R
on aura h = R , et ,
a” Soit l’arc AB =
aîrR
