SUR LA MESURE DE LA COURONNE ET DU TRAPÈZE CIRCULAIRE

— SUR LES LUNULES d’oIPPOCRATE.

Théorème I.

La surface comprise entre deux circonférences concentriques OA, OB est équivalente nu cercle qui aurait /tour diamètre une corde ABC de In circonférence extérieure, tangente à la circonférence intérieure.

Cercle OA — cercle OB = r OA ! — r. t)B

= »r(0Â — ÔB ' j = jr AB* .

Donc la couronne, comprise entre les deux circonférences OA, OB, est équivalente au cercle qui a pour rayon AB ou pour diamètre AC.

Théorème II.

If ,rnl^ze circulaire AB bu, c'est-à-dire ta différence des secteurs sent - WaAAv OAB, O ab, a /mur mesure la moitié du produit de sa haute,,, OA — On par la somme de ses bases AB, ab.

Car on a

NOTES BEI» LE LIVRE IV. NOTE 5l. 44/

Désignons p.ir R, r, II, b, A, les rayons OA, O//, les arcs semblables Ab, nb el la différence OA — On. On aura

( i ) ABba = OAB — Oab = £ ( BU - br).

"j ' — Maintenant, les arcs AB et nb étant semblables, on

et, par suite, d’où l'on tire

n B/' , hh

Portant les valeurs de R et de r dans l’égalité (i), il vient i r1 h 1 1

AB ba= I/,x ^ — -r- = - b [B -h b), i B — b a

ce qu’il fallait démontrer.

Théorème III.

Si l’on {/écrit sur chacun tics côtés tl’un triangle rectangle ABC, c munir diamètre, une demi-circonférence, ta somme des lunules AUBE, AFCG sera éc/uiealcntc à l'aire du triangle ABC.

or, r. — — , r. - , r — — sont respectivement les mesures dos cercles

décrits sur BC, AB, AC comme diamètres ; donc le demi-cercle BAC est équivalent à la somme des demi-cercles BDA, AFC, cl, par conséquent, si Ton retranche de part et d’autre les parties communes AEB, AGC, les restes seront aussi équivalents. Donc le triangle ABC est équivalent à la somme des lunules ADBE, AKCü.

Remarque. - Si le triangle ABC était isocèle, il serait le double de l'une des lunules.

Observation. — « II ipfocr uf de Chio (an 45o avant 1 Yrc vulgaire) se dis-

• tingua par la quadrature des fameuses lunules du cercle qui perlent son » nom. Ayant décrit sur les trois côtés d’un triangle rectangle isocèle, comme

* diamètres, trois demi-cercles placés dans le même sens, il observa que la > somme des deux lunules égales, comprises entre les deux quarts de circon-

NOTE 5a.

• férencc correspondants à l'hypoténuse, et les demi-circonférences corros-

* pondantes aux deux autres côtés du triangle, était égalé en surface à ce tri- » angle : premier exemple d’un espace curviligne égal à un espace rectiligne.

» Les connaissances d’Hippocrate de Chio en géométrie étaient fort éten- » dues. Il avait écrit des Éléments de Géométrie estimés de son temps niais » que d'autres ouvrages du même genre, et en particulier ceux d’EucIido, ont a fuit perdre et oublier. * ( Essai sur ï Histoire générale des Mathématiques , par Charles Bossut.)

SLR QUELQUES MAXIMUMS ET MINIMUMS.

Théorème I.

Parmi toutes les figures planes de même périmètre, te cercle est un maximum.

D’abord il est évident qu’il y a une infinité de figures d’un périmètre donné qui ont diverses formes et diverses aires, et il est clair aussi que ces aires ne peuvent pas croître indéfiniment. Donc, parmi tes figures d'un périmètre donné, il y a un ou plusieurs maximums.

En second liiu, il est facile de reconnaître que toute figure / enfermant une aire maximum dans un périmètre donné doit être convexe. Car, si uno figure A1SCDA a une partie rentrante ABC, on peut faire tourner cette partie autour de AC, de manière qu'ello occupe la position AB'C, et la figure AB'CDA aurait môme périmètre que ABCDA et une aire plus grande; donc ABCDA ne saurait être un maximum.

Maintenant, si une figure ABCDA d'un périmètre donné est un maximum, je dis que toute droite AC qui divise son périmètre en deux parties égides ABC, ADC divisera aussi sa surface en deux parties équivalentes. Car, si la portion de surface ABCA élaitplus grande que A DCA, on pourrait construire la figure AB'C symétrique de ABC par rapport à AC, et la figure ABCB'A aurait même périmètre que ABCDA et une aire plus grande; donc la figure ABCDA ne serait pas un maximum. ’

De là il résulte que, ABCDA étant une figure maximum, ABCB'A en est aussi une.

Enfin, joignons aux points A et C un point quelconque B du demi-pcrimètre ABC; je dis que l'angle ABC est droit. Car, s’il en était autrement, on pourrait rendre l’angle ABC droit, sans changer la grandeur des côtés AB, BC, et en conservant les segments AMB, BNC tels qu’ils sontla base AC du triangle ABC changerait seule. De cette manière on agrandirait faire du triangle ABC (voir Note 26) et, par suite, l’airo de la ligure ABCA; alors, en construisant la figure symétrique de la nouvelle figure ABCA, par rapport à AC, et en la désignant par A B" CA, on obtiendrait une figure totale ABCB*A qui aurait mémo périmètre que la ligure