EG — EH = HG = (DC — AB

Donc la droite qui joint les milieux des diagonales d’un trapèze est égale à la demi-différence de ses bases. [Note io.]

Sur les figures symétriques par rapport à une droite.

124. Définitions. — Deux points A, A', sont symétriques par rapport à une droite xy, lorsque cette At droite est perpendiculaire sur le milieu a

de celle qui joint les deux points. On dit y aussi que les points A, A', sont symétriquement placés par rapport à xy.

i’i La droite xy est appelée axe de symétrie.

125. Deux figures sont symétriques par rapport à une droite, lorsque tout point de chacune de ces figures a son symétrique sur l’autre.

Théorème I.

126. La figure symétrique d’une droite AB, par rapport à un axe xy, est une ligne droite.

Du point A j'abaisse sur l’axe de symétrie xy la perpendiculaire \a que je prolonge d’une longueur «A', égale à As; alors le point A' sera le symétrique du point A : je détermine de même ie point B' symétrique du point B, et je dis que la droite A' B' est la ligne symétrique de AB.

En effet, si d’un point quelconque C de la droite AB on abaisse sur xy la perpendi- * culaire Ce et qu’on la prolonge jusqu'à la rencontre de A' B', au point C', et si on fait tourner le trapèze ba AB autour de ba, jusqu’à ce qu’il s’applique sur le trapèze ba A' B', il est facile de voir que ces deux trapèzes coïncideront et que cC se confondra avec cC'. Ainsi l’axe xy est perpendiculaire sur le milieu de CC', et, par conséquent, tout point C de la droite AB a son symétrique sur A' B'; donc AB a pour symétrique la droite A' B'.

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Corollaire I. — La distance de deux points A, B, est égale à celle de leurs symétriques A', B'.

Corollaire II. — Si deux droites se coupent, leurs symétriques se coupent aussi et les deux points d’intersection sont symétriques. Car le point d’intersection des deux premières droites doit avoir son symétrique situé à la fois sur les deux autres.

Corollaire III. — Si l’on prolonge AB jusqu’à la rencontre dex/au pointD, ce point qui est lui-même son symétrique doit

êlresitué sur la droite A'B', et de plusx/, perpendiculaire sur le milieu de AA', est la bissectrice de l’angle ADA\ Donc deux droites symétriques rencontrent l’axe de symétrie, en un même point et forment avec cet axe des angles égaux.

Remarque I. — Un trapèze tel que ABB'A', dont les côtés non parallèles sont égaux, est appelé trapèze isocèle.

Remarque II. — Nous avons pris les points A et B d’un même côté de l’axe de symétrie, mais tout ce qu’on vient de dire a encore lieu lorsque ces points sont situés de part et d’autre de xy. Seulement, dans ce cas, les droites égales AB; A' B' sont les diagonales du trapèze isocèle, qui a pour sommets les points A, B, A', B', au lieu d’en être les côtés non parallèles.

Théorème II.

127. L'angle de deux droites AB, AC, est égalai l’angle formé par leurs symétriques A'B', A'C'.

, Car les trois points A, B, C, ont pour

symétriques trois points tels que A', B', C', et d’ailleurs la distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques; donc les deux triangles ABC, A'B'C' sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacuir, et par conséquent l’angle BAC = B' A'C'.

Remarque. — En faisant glisser le triangle ABC sur le plan de la figure, on ne peut pas le faire coïncider avec son égal A'B'C', à moins que ces triangles ne soient isocèles; donc, en général, il faudrait retourner le premier triangle si on voulait le superposer sur le second.

128. Définitions. — Deux points A, A', sont symétriques par rapport à un troisième O, appelé centre de symétrie, lorsque ce troisième point divise en deux parties égales la droite qui joint les deux premiers.

Deux figures sont symétriques par rapport à un point, lorsque tout point de chacune de ces figures a son symétrique sur l’autre.

Remarque. — En considérant les figures symétriques par rapport à un point, il est facile de démontrer qu’«/ie droite a pour figure symétrique une ligne droite, que la distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques, que l’angle de deux droites est égal à l’angle formé par leurs symétriques. [Note i i.]

DÉFINITIONS