AB = HC, AB = CK

donc le point C est le milieu de HK; d’ailleurs la droite CF, étant perpendiculaire à AB, l’est aussi sur sa parallèle HK; donc CF est perpendiculaire sur le milieu de HK. On verrait de même que AI), BE, sont perpendiculaires sur les milieux de GII et de GK.

Ainsi, les droites AD, BE, CF, sont les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle GUK; donc elles se rencontrent en un même point O.

Théorème VII.

120. Les bissectrices AD, BE, CF, des angles d’un triangle ABC se coupent en un même point.

Soit O le point d'intersection des bissectrices BE, CF; ce point, étant situé sur BE, est également distant des côtés AB, BC, et ce même point, étant situé sur CF, est également distant des côtés BC, AC; donc le point O est à égale distance des côtés AB, AC, et, par conséquent, la bissectrice AD doit passer par le point O.

Théorème VIII.

121. Les médianes AD, BE, CF, d'un triangle ABC se coupent en un même point.

Soit O le point d'intersection dès deux médianes AD, BE : prolongeons OE d’une longueur EG, égale à OE, et menons les droites GA, GC. Les diagonales du quadrilatère AOCG se coupant mutuellement en parties égales, AOCG est un parallélogramme; donc CG = OA, et DO est parallèle à CG. Ainsi dans le triangle BCG, la droite DO passe par le milieu du côté BC et elle est parallèle à CG ; donc DO est

la moitié de CG, et par suite la moitié de OA ou le tiers de AD; donc la médiane BE coupe la médiane AD au tiers de cette droite, à partir du côté BC. On verrait de même que la médiane CF coupe AD au tiers de AD, à partir du côté BC; donc les trois médianes se coupent en un même point.

Théorème IX.

122. La droite EF, parallèle aux bases d'un trapèze ABCD et passant par Je milieu E de l'un des côtés non parallèles, passe aussi par le milieu du côté opposé.

t Menons la diagonale AC; la droite EF pas-

r- Z~ \ sera par le milieu du côté AD du triangle

t V ADC et sera parallèle à DC; donc le point G

/ j \ est aussi le milieu de AC : de même la droite

D c GF passe par le milieu du côté AC du trian-

gle CAB et elle est parallèle à AB ; donc F est le milieu de BC.

Corollaire. — On a

EG = - DC, GF = i AB:

donc

EF = - ( DC -f- AB ).

Théorème X.

123. La droite EF, qui joint les milieux des côtés non parallèles cT un trapèze ABCD, est parallèle aux bases DC, AB.

Car la droite parallèle aux bases, menée par le point E milieu de AD, doit passer par le point F ; donc elle se confondra avec EF.

Corollaire /. — On a donc, d’après le théorème précédent, EF = ^- (DC -t- AB).

Donc la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles d'un trapèze est égale à la demi-somme de ses bases.

Corollaire II. — La droite EF passe par les milieux G, II. des diagonales AC, BD; d’ailleurs on a