ANGLE INSCRIT DANS UN DEMI-CERCLE

TnÉoafe.ME 1.

137. Le rayon OC, perpendiculaire à une corde AB, divise cette corde et l’arc sous-tendu , chacun en deux parties égales.

fio GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE 1.

Caries rayons OA, OB, sont deux obliques égales; donc ils s’écartent également du pied D de la perpendiculaire, et, par conséquent, AD = I)B (74).

Maintenant, la droite OC étant perpendiculaire sur le milieu de AB, la corde CA est égale à la corde CB; donc l’arc AC est aussi égal à l’arc CB (44).

Remarque. — La droite OC passe par le centre, par le milieu de la corde, par le milieu de l’arc, et, de plus, elle est perpendiculaire à la corde. Or, deux de ces conditions suffisent pour déterminer cette droite; donc la perpendiculaire élevée sur le milieu d’une corde passe par le centre et par le milieu de l’arc; donc la droite qui passe par le centre et par le milieu de la corde est perpendiculaire à cette corde et passe par le milieu de l’arc; etc.

Corollaire I. — Dans un cercle, le lieu géométrique des milieux des cordes, parallèles à une droite donnée, est le diamètre perpendiculaire à cette droite.

Corollaire II. — Pour trouver le centre d'une circonférence, il suffit d’élever des perpendiculaires sur les milieux de deux cordes non parallèles, et le point d’intersection de ces perpendiculaires sera le centre cherché.

Problème I.

138. Par trois points donnés A, B, C, non en ligne droite, faire passer une circonférence.

Sur les milieux des droites AB, BC, j'élève les perpendiculaires DE, FG, qui se coupent au point O (83), et de ce point comme centre, avec le rayon OA, je décris une circonférence, qui sera la circonférence demandée.

Car le point O est également distant des trois points A, B, C.

Remarque. — Le centre de toute circonférence, qui passerait par ces trois points, devrait se trouver sur DE, sans quoi il serait inégalement distant des points A, B, et, par une raison semblable, il devrait se trouver aussi sur FG; donc, ce centre ne serait autre que le point O. ])onc,par trois points A, B, C, non en ligne droite, on ne peut faire passer qu’une circonférence.

Corollaire. — Ainsi, on peut circonscrire une circonférence ù un triangle donné, et on n’en peut circonscrire qu’une.