Par un point A mener une tangente à un cercle donné O

i° Si le point A est sur la circonférence, on mène le rayon OA, puis la droite AB perpendiculaire à OA, et AB est la tangente demandée.

2° Si le point A est hors du cercle, on mène la droite OA, qu’on divise en deux parties égales au point O'; du point O' comme centre, avec O' O pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe la première aux points B, C; el la droite AB est la tangente demandée.

Car, en menant le rayon OB, l’angle OBA inscrit dans un demi-cercle sera un angle droit; donc la droite AB sera perpendiculaire à l’extrémité du rayon OB, et, par conséquent, elle sera tangente à la circonférence.

La droite AC est aussi tangente au cercle 0; donc le problème admet deux solutions, lorsque le point A est extérieur au cercle donné.

Remarque I. — Si une tangente à la .circonférence O, BA par exemple, doit passer par le point A, le point de contact B

doit être le sommet d’un angle droit dont les côtés passeront par les points O et A; donc le point B doit se trouver sur la circonférence O' (141); d’ailleurs, il doit se trouver aussi sur la circonférence O; donc les deux points d’intersection des circonférences O et O' sont les seuls points de contact possibles. Ainsi, d’un point pris hors d'une circonférence, on ne peut mener à cette circonférence que deux tangentes.

Remarque II. — Les deux triangles BOA, COA, ont l’hypoténuse OA commune et le côté OB = OC; donc ils sont égaux. Donc les tangentes AB, AC, menées d'un point A pris hors, d’un cercle, sont égales, et la droite OA est la bissectrice de l’angle formé par ces tangentes.

Théorème II.

145. Deux parallèles AB, CD, interceptent sur la circonférence des arcs égaux.

En effet, si on mène le rayon OE perpendiculaire aux deux cordes AB, CD, les deux arcs EA, EB, seront égaux, ainsi que les arcs EC, ED ; donc on a

arc EC — arc EA •= arc ED — arc EB ou arc AC = arc BI).

11 peut arriver que les deux parallèles A'B', CD, soient l’une tangente et l’autre sécante. Dans ce cas on mène au point de contact le rayon OE, qui est à la fois perpendiculaire aux deux droites A'B', CD, et on a

arc EC = arc ED.

Enfin, les deux parallèles A'B', C'D', peuvent être toutes deux tangentes; alors les rayons OE, OF, menés aux points de contact, sont des perpendiculaires abaissées d’un même point O sur deux parallèles; donc ces rayons sont en ligne droite (83), et, par conséquent, les deux arcs ECF, EDF, sont égaux, comme étant chacun une demi-circonférence.

Corollaire. — Ainsi, lorsque deux tangentes à une circonférence sont parallèles, leurs points de contact sont les extrémités d'un même diamètre.

Remarque I. — Réciproquement, les tangentes A'B', C'D', menées aux extrémités d'un même diamètre EF, sont parallèles. Car elles sont toutes deux perpendiculaires à EF.

Il résulte de là qu’on peut mener à une circonférence deux tangentes, parallèles à’une droite donnée xy. Car la perpendi-