Inscrire un cercle dans un triangle ABC

Je mène les bissectrices BO, CO, des angles B, C; du point O, où ces bissectrices se coupent, j’abaisse CD perpendiculaire à BC, et de ce même point comme centre, avec OD pour rayon, je décris une circonférence qui est la circonférence demandée.

Car les perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées du point O sur les côtés BC, CA, AB, sont égales (114); donc la circonférence doit passer par les pieds D, E, F, de ces perpendiculaires, et, par suite, elle est tangente aux trois côtés du triangle.

Remarque I. — Le centre de tout cercle inscrit dans le triangle ABC doit être également distant des deux côtés BC, BA; donc il doit se trouver sur la bissectrice BO de l’angle B, et, par une raison semblable, il doit se trouver aussi sur la bissectrice CO de l’angle C. Donc on ne peut inscrire qu’un cercle dans un triangle donné.

Remarque II. — Les droites BD, DC, CE, etc., sont les segments des côtés du triangle, déterminés par les points de contact du cercle inscrit. Or, à cause des égalités BD = BF, CE = CD, AE = AF, on a