BD -|- CE + AE = BF -|- CD + AF

donc la somme d’un segment BI) et du côté AC, opposé à l’angle B, est égale au demi-périmètre du triangle.

THfiORfcME III.

147. Si d'un point A, pris hors d’un cercle O, on abaisse sur la circonférence de ce cercle la plus petite normale AB et différentes obliques,

i® La normale AB est plus courte que toute oblique ;

2* Deux obliques, qui s'écartent également du pied de la normale, sont égales;

3° De deux obliques, qui s'écartent inégalement du pied de la normale, celle qui s'en écarte le plus est la plus grande.

i° Puisque la normale AB prolongée passe par le centre O (142), AB est la plus petite droite qu'on puisse mener du point A à la circonférence, donc on a

\ AB< AC

a" Supposons que les obliques AC, AD,

Û A\ • \ \ s’écartent également du pied de la normale, J/ o \ c’est-à-dire que les arcsBC, BD, soient égaux.

\7 \j Les angles au centre BOC.BOD seront égaux;

c'vV x 0 d’ailleurs, les triangles OAC, OAD, ont le

*' côté OA commun, et le côté OC égal au

côté OD; donc le troisième côté AC est égal au troisième côté AD.

3° Soit l’oblique AE, qui s’écarte plus du pied de la normale que l’oblique AC. L’arc BE étant plus grand que l’arc BC, l’angle BOE est plus grand que l’angle BOC; d’ailleurs, les triangles OAE, OAC, ont le côté OA commun et le côté OE égal au côté OC; donc on a (94)

AE > AC

Remarque /. — Si on prolonge la normale AB et les obliques AC, AD, AE, jusqu’à la rencontre de la circonférence aux points B’, C', D', E', i° la normale AB' sera plus grande que toute oblique AC'; i° deux obliques AC', AD', qui s’écarteront également du pied de la normale seront égales; 3° de deux obliques AC', AE', qui s’écarteront inégalement du pied de la normale, celle qui s’en écartera le moins sera la plus grande.

Remarque II. — Si d’un point A, situé entre le centre et la circonférence, on abaissait sur cette circonférence les deux normales et différentes obliques, il en résulterait des propositions analogues aux précédentes, et on les démontrerait de la même manière. [Notes i 3, i4 et i5.]