PROBLÈMES SIR LES CONTACTS

la troisième circonférence, et par suite on aura une seconde tangente commune E'F'.

Les deux tangentes communes EF, E'F' sont extérieures aux deux cercles O, O' ; mais, lorsque les deux cercles sont extérieurs l'un à l’autre, on peut mener deux autres tangentes communes qui passeront entre les deux cercles et qu’on appelle intérieures.

Pour cela, je joins encore les centres O, O' par une droite qui coupe la première circonférence au point A et la seconde

au point B; jeprends AC=0’B, et du point U comme centre, avec le rayon OC qui est égal à la somme des rayons OA, O' B, je décris une troisième circonférence; par le point CF je mène O'D tangente à cette dernière circonférence et je lire le rayon OD qui coupe la première circonférence au point E ; je mène le rayon O' F parallèle à OE, par les points E et F je fais passer une droite, et celte droite sera tangente aux deux circonférences.

Car les droites DE, CFF sont égales et parallèles; donc le quadrilatère O' DEF est un parallélogramme. De plus, l’angle O'DE est droit, donc (y DEF est un rectangle; donc EF est perpendiculaire aux extrémités des rayons ÜE, O' F, et, par conséquent, elle est une tangente commune aux deux cercles donnés.

Par le point O' on peut mener une seconde tangente O'D' à la troisième circonférence, et par suite on aura une seconde tangente commune intérieure E’F'.

Remarque I. — Si les cercles donnés sont tangents extérieurement, ils ont deux tangentes communes extérieures et une seule tangente intérieure, perpendiculaire à la droite qui passe par les centres ; s’ils se coupent, il n’ont que deux tangentes communes extérieures; s’ils sont tangents intérieurement, ils n’ont qu’une tangente commune extérieure, perpendiculaire à la droite qui passe par les centres; et enfin, s’ils sont intérieurs l’un à l’autre, ils n’ont pas de tangente commune.

Remarque II. — Lorsque les cercles sont extérieurs l’un à l’autre, les deux tangentes extérieures EF, E'F' et la droite 00' concourent en un même point G. Car la bissectrice de l’angle EGE' doit passer par les centres 0 etO' (14A); donc la droite 00' n’est autre que cette bissectrice; donc 00' doit passer par le point G.

De même le point d’intersection G des deux tangentes inté—

rieures est sur la droite 00'. Car GO et GO' sont les bissectrices des angles EGE', FGF', opposés au sommet; donc GO et GO' sont en ligne droite (114).

11 est clair que les deux tangentes extérieures communes à deux cercles, qui sont tangents extérieurement ou qui se coupent, se rencontrent aussi en un point de la droite qui passe par les centres.

Problème II.

156. Décrire un cercle tangent à trois droites données xy. x'y1 , x"y" , qui se coupent deux à deux.

D’abord le cercle 0 inscrit dans le triangle ABC satisfait à la question (146).

De plus, menons les bissectrices BO'.CO', des angles extérieurs CB/', BCy", et du point O', où ces bissectrices se coupent, abaissons 0' D' perpendiculaire à BC; alors, si du point 0' comme centre, avec O'D' pour rayon, on décrit une circonférence, elle sera tangente au côté BC et aux prolongements By' , Cy", des deux autres côtés AB , AC. Caries perpendiculaires O'D', O'E', 0' F', abaissées du point 0' sur BC, Cj", By', sont égales; donc la circonférence doit passer par les pieds D', E', F' de ces perpendiculaires, et, par suite, elle est tangente aux trois droites xy, x'y', x’y”.

On décrirait de même les circonférences 0", 0”', tangentes à chacun des côtés AC, AB, et aux prolongements des deux autres.

Remarque. — Ainsi on peut mener quatre circonférences tangentes à la fois à trois droites xy, x'y' , x"yH qui se coupent deux à deux.

Les trois cercles 0',0'',0" sont les cercles ex-inscrits du triangle ABC.