Multiplier une grandeur par une fraction, ^ par cxem

pie, c’est trouver une seconde grandeur qui soit les ^ de la

première. Le résultat de la multiplication d’une grandeur par un entier ou par une fraction s’appelle produit.

159. Diviser une grandeur par un nombre, entier ou fractionnaire, c’est trouver une seconde grandeur qui, étant multipliée par ce nombre, reproduise la première.

160. Diviser une grandeur par une autre grandeur de même espèce, c’est trouver un nombre appelé quotient, tel qu'en multipliant la seconde grandeur par ce nombre, on obtienne la première.

161. On appelle rapport d’une grandeur à une autre de même espèce, le nombre qui exprime combien de fois la première grandeur contient la seconde ou une partie aliquote de la seconde. Ainsi le rapport d’une grandeur A à une grandeur B de même espèce, 11’est autre que le quotient de la première divisée par la seconde, et par conséquent, pour in-

diquer le rapport de A à B, on écrit g ou A:B. Le rapport de B à A, qui est Y inverse du précédent, sera -r ou B:A.

•j6 GÉOMÉTRIE PLANE. — LITRE II.

162. Lorsqu’on se propose de déterminer le rapport d’une grandeur à une autre, il se présente deux cas principaux, et, pour lixer les idées, supposons qu’il s’agisse de deux droites.

i° 11 peut arriver que les deux droites soient commensurables, c'est-à-dire qu’elles aient une commune mesure.

Si la première droite AB contient

1 1 1 10 la seconde Cl) exactement, 4 fois

cl lu par exemple, le rapport de AB à CD

sera 4; donc on aura l’égalité

Si la droite AB n’est pas un multiple de CD, supposons

qu’une commune mesure soit con- Al ' 1 'B tenue 4 fois dans AB et 3 fois

dans CD; le rapport de AB à G)

sera

et on aura

AB 4 CD - 3'

Les deux droites qu’on considère peuvent être incommensurables, c’est-à-dire ne pas avoir de commune mesure. C’est ce qui a lieu pour la diagonale et le côté du carré, comme nous le verrons dans le Livre 111 (233). [Note 18.]

163. Lorsque deux grandeurs A, B sont incommensurables, l’une de ces grandeurs ne peut pas être évidemment un multiple de l’autre; de plus, la grandeur A ne peut pas être les |

de B, par exemple, sans quoi, ^ de B serait une commune

mesure des grandeurs A et B, ce qui serait contraire à l'hypothèse. Donc il faut admettre qu’il n’y a pas de rapport de la grandeur A à la grandeur B (161), ou bien donner de l’extension à la signification des mots rapport et nombre.

C’est ce dernier parti que l’on prend, en admettant qu’il existe , outre les nombres entiers et les nombres fractionnaires, d’autres nombres appelés incommensurables , qui résultent chacun de la comparaison d’une grandeur à une seconde grandeur incommensurable avec la première.

En conséquence, si deux grandeurs A, B, sont incommensurables, le rapport de A A B sera un nombre incommensurable qu'on définira en disant : qu'il est plus grand que le rapport de toute grandeur, moindre que A et commensurable avec B, rl la grandeur B, et plus petit que le rapport de toute grandeur, plus grande que A et commensurable avec U, à la

DÉFINITIONS. 79

grandeur B. Ce rapport ou ce nombre incommensurable re désigne encore par g-

164. Supposons, par exemple, que les droites AB, CD soient incommensurables. Si on divise CD en n parties égales et qu'on

u ^ porte l’une de ces parties sur AB.

e * f à partir dit point A, autant de fois

que possible, m fois parexemple, on déterminera sur AB une droite AE dont le rapport à CD

sera — ; et, si on porte la même partie à la suite de AE une n

fois de plus, on obtiendra une droite AF plus grande que AB, dont le rapport à CD sera m 1 ; donc on aura

AE ni t AF m-+- 1

CD” n 61 CD — n ’ AB /n AB . iM- i CD>n el CD<-1»“

Ainsi les rapports — et sont des valeurs approchées

AB i

du rapport jjjj à moins de - près, l'une par défaut, et l'autre par excès.

Si le nombre n des parties égales de CD devient de plus en plus grand, ces parties deviendront de plus en plus petites, et on voit que les droites AE, AF, pourront différer chacune de AB d’aussi peu qu’on voudra, c’est-à-dire d'une longueur moindre que toute longueur donnée. [Note 19.]

165. Remarque. — O11 définit le produit d’une grandeur par un nombre incommensurable N, en disant : que c'est une grandeur plus grande que les produits de la grandeur donnée par les nombres commensurables moindres que N, et plus petite que les produits de la grandeur donnée par les nombres commensurables supérieurs à N.

166. Le quotient d'une grandeur par un nombre incommensurable est la grandeur qu’il faut multiplier parce nombre pour reproduire la première. [Note ao.]

167. Définition. — Deux rapports incommensurables som regardés comme étant égaux, lorsqu'il est démontré que leur différence, en supposant qu’il en existe une, doit être moindre que tout nombre donné.