MESURE DES SURFACES POLYGONALES

Théorème II.

185. Deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

Soient R, R’ deux rectangles quelconques, b et A la base et la hauteur du premier, b' et h' la base et la hauteur du second,

et construisons un troisième rectangle R" ayant pour base b et pour hauteur h'; on aura (184)

JT A R' — b'

Multipliant ces égalités membre à membre et supprimant le facteur R" commun aux deux termes du premier produit, il vient

R ftx h R' — b' x A'1

ce qu’il fallait démontrer.

Théorème III.

186. Un rectangle a pour mesure le produit de sa base pat sa hauteur (en prenant, pour unité 1 : 1 de surface, le carré qui a pour côté

l’unité de longueur).

Ifc> B Soit un rectangle R, dont la base

i[c I et la hauteur sont b et A, et conve- 1 ‘ nons de prendre, pour unité de

surface, le carré C qui a pour côté l’ unité de longueur, dont on sc sert pour mesurer la base et la hauteur du rectangle. En vertu du théorème précédent, on aura

bxh i X i

= AxA.

Or, le carré C étant l’unité de surface, le rapport — est la

mesure du rectangle R. Donc un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Remarque I. — Pour mesurer un rectangle, il faut d’abord mesurer sa base et sa hauteur avec le côté du carré pris pour unité de surface ; de là le nom de dimensions donné à la base et à la hauteur du rectangle. Donc un rectangle a pour mesure le produit de ses deux dimensions.

Remarque II. — En général bx.li est la mesure du rectangle qui a pour dimensions b ci h; de même ax a ou a1 est la mesure du carré dont le côté est a. C’est celte dernière mesure qui a fait donner le nom de carré à la seconde puissance d’un nombre, et c’est par une raison semblable qu’on dit quelquefois : le rectangle de deux droites, au lieu de dire : le produit de ces droites.

187. Remarque III. — On appelle aire d’une figure la mesure de sa surface. Par exemple, en prenant pour unité de surface le carré qui a pour côté l'unité linéaire, l'aire d'un rectangle est le produit de sa base par sa hauteur.

Cependant on donne quelquefois le nom d'aire à la surface elle-même, considérée comme une grandeur. C’est dans ce sens qu’on dit : la mesure des aires.

Deux surfaces sont dites équivalentes, lorsque leurs mesures ou leurs aires sont égales. Par exemple, si l'unité de longueur est contenue 8 fois dans la base et 3 fois dans la hauteur d’un rectangle, puis 6 fois dans la base et 4 fois dans la hauteur d’un autre rectangle, ces rectangles sont équivalents.

Toutefois, pour reconnaître que deux surfaces sont équivalentes, il n’est pas nécessaire de savoir les mesurer et de constater que leurs mesures sont égales.

Ainsi, il est évident que la mesure d’une grandeur est égale à la somme des mesures de toutes ses parties; que la mesure de l'une des deux parties d’une grandeur est égale à la mesuie de la grandeur totale, diminuée de la mesure de l’autre partie; que la mesure du double, du triple, etc., de la moitié, du tiers, etc., d’une grandeur est le double, le triple, etc., la moitié, le tiers, etc., de la mesure de cette grandeur.

Et de là il résulte que deux surfaces sont équivalentes :

i° Lorsqu'elles sont composées de parties respectivement égales ;

2° Lorsqu’elles sont les différences de deux surfaces respectivement égales ;

3° Lorsqu’elles sont les mêmes multiples ou les mêmes parties aliquotes de deux surfaces égales, ou de deux surfaces déjà reconnues comme étant équivalentes.

C’est en se fondant sur ces propositions que nous allons passer de la mesure du rectangle à celles des autres surfaces polygonales. [NoTK2ij.}