MESURE MES SURFACES POLYGONALES

TntoRtME IV.

188. Un parallélogramme ABCD a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Des sommets B, A, élevons sur la base AB les perpendiculaires BE, AF, jusqu’à la rencontre de DC ou de son prolongen R c ment, aux points E et F.

Les triangles rectangles AFI), BEC seront égaux comme ayant l’hypoténuse égale et un côté égal ; or, si on les retranche successivement du quadrilatère ABCF, les restes, qui ne sont autres que le parallélogramme ABCD et le rectangle ABEF, seront équivalents; donc on a

mes. ABCD = mes. ABEF,

ou ABCD — AB X BE.

Corollaire 1 . — Deux parallélogrammes qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont équivalents. Car leurs mesures sont égales.

Corollaire II. — Deux parallélogrammes P, P', qui ont même hauteur h, sont entre eux comme leurs bases b, b'. Car deux grandeurs sont entre elles comme leurs mesures (173); donc

De même, deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Remarque. — On peut démontrer les deux corollaires précédents sans se fonder sur la mesure du parallélogramme.

i° Soient les parallélogrammes ABCD, ABEF, qui ont des bases égales et des hauteurs égales; je dis qu’ils sont équivalents.

F — ? t — y F * y CarlesanglesFAD,

EBC sont égaux,

y \X comme ayant leurs

1 dab côtés parallèles et

dirigés dans le même sens (lia), et les côtés AD, AF sont respectivement égaux aux côtés BC.BE; donc les triangles ADF, BCE sont égaux. Or, si on retranche successivement chacun de ces triangles du quadrilatère ABCF, les restes, qui ne sont autres que les parallélogrammes ABCD, ABEF, seront équivalents.

a” Supposons que deux parallélogrammes aient même hauteur; je dis qu’ils sont entre eux comme leurs bases.

Car ces parallélogrammes sont respectivement équivalents à des rectangles de même base et de même hauteur; or ces deux rectangles ayant même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; donc il en est de même des deux parallélogrammes.

Théorème V.

189. Un triangle ABC a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur, ou le produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

Par les sommets A, C, menons les droites AE, CE, respectivement parallèles aux côtés BC, BA. Le parallélogramme ABCE, qui a même base BC et même hauteur AD que le triangle ABC, sera le double de ce triangle; donc

ABC = - ABCE

= - BCx AD.

Corollaire I. — Deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

190. Corollaire II. — Veux triangles, qui ont un angle égal, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle.

Car, si deux triangles ont un angle égal, on peut supposer qu’ils soient placés l’un sur l’autre, de manière que leurs deux angles égaux coïncident.

Soient donc les deux triangles ABC, ADE qui ont l’angle A commun, et menons la droite BE. Les triangles ABC, ABE, ont chacun pour sommet le point B et leurs bases AC, AE, sont sur une même ligne droite ; donc ils ont même hauteur et sont entre eux comme leurs bases; ainsi on a