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BU et a b L.', et par le point commun à BD et à B'D' ; ce qu'il fallait démontrer (M.

et par la uruiie [^n- ) \u a j ^ uu qu ii fallait démontrer.

31. Dans la Géométrie de l'espace, un angle polyèdre complet à n faces, c'est-à-dire la figure composée de n plans (faces), concourant en un

même point (sommet de l'angle polyèdre), considérés avec les —

(') Ces deux théorèmes sont donnés ici comme exemples pour la Géométrie plane, mais dans le cas où les deux quadrangles ou quadrilatères sont dans des plans différents, les démonstrations sont encore les mêmes mot- à mot.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

droites (arêtes), suivant lesquelles les plans se coupent deux à deux, est corrélatif à un polygone (plan) complet de n sommets. Et un angle multarête complet, à n arêtes, c'est-à-dire la figure composée de /^ droites issues d'un même point (sommet de l'angle multarête), considérées avec

les -^ — ^ plans (faces), déterminés par les droites, prises deux à deux,

est corrélatif à un multilatère (plan) complet de n côtés.

Par exemple, les théorèmes suivants sont corrélatifs, dans la Géométrie à trois dimensions, aux deux théorèmes qui précèdent (n" 30, 5°), qui sont corrélatifs entre eux dans la Géométrie plane.

Si deux angles tétraèdres complets (de môme sommet ou non) a^^fî, a' ^'-/(î', jouissent de la propriété que cinq couples d'arêtes correspondantes se trouvent dans cinq plans passant par une droite .?, le sixième couple d'arêtes sera aussi dans un plan passant par s.

Si deux angles quadrarêtes complets (de même sommet ou non) ahcd^ a'b' c' d\ jouissent de la propriété que cinq couples de faces correspondantes se coupent suivant cinq droites situées dans un plan cr, la droite commune au sixième couple de faces sera aussi dans le plan n.

Nous laisserons à l'élève studieux le soin de trouver les démonstrations de ces théorèmes, qui ne diffèrent, du reste, de celles du théorème 5" que par le changement des éléments point et plan ; et, de même que les théorèmes 5° sont une conséquence des théorèmes n°' 12 et 13, de même les théorèmes actuels se fondent sur ceux du n° 29.

Si les deux angles tétraèdres ont un même sommet 0, le théorème de gauche peut aussi s'établir, en projetant du point 0 (n"2) la figure qui exprime le théorème 5° de droite. Dans la même hypothèse on tire, par le même procédé, le théorème actuel de droite du théorème 5° de gauche.

32. Dans la géométrie de la gerbe, deux propositions ou deux figures corrélatives se déduisent l'une de l'autre par l'échange des éléments plan et droite. De même que la géométrie de la gerbe est corrélative à celle du plan, par rapport à l'espace à trois dimensions, de môme l'une des géométries se déduit de l'autre, par l'échange des éléments point et plan. La géométrie de la gerbe peut aussi se déduire de celle du plan, en faisant la projection à partir d'un centre (n° 2).

De la géométrie de la gerbe on déduit celle des figures sphériques, en coupant la gerbe par une sphère passant par le centre de la gerbe.

FORMES PROJECTIVES» 27

§ VIL — Formes projectives.

33. Au moyen de la projection, à partir d'un centre, on déduit un faisceau de rayons d'une ponctuelle, un faisceau de plans d'un faisceau de rayons, une gerbe d'un plan (ponctuel ou réglé). Réciproquement, au moyen d'une section par un plan transversal, on revient du faisceau de rayons à la ponctuelle, du faisceau de plans au faisceau de rayons, de la gerbe au plan. Les deux opérations, projeter d'un centre, couper par un plan transversal, peuvent donc être regardées comme complémentaires ; et nous dirons que, si. une forme est déduite d'une autre par une de ces opérations, on peut réciproquement, par l'opération complémentaire, déduire la seconde forme de la première.

Supposons maintenant que d'une forme /i on déduise par une opération (projection ou section) une forme /j, que de /a on déduise/3 par une autre opération, qu'une troisième opération tire/4 de/aj et ainsi de suite jusqu'à ce que n — i opérations aient donné une forme /„. Fice versa, nous pourrons revenir de/„ à/ au moyen d'une autre série de ^i — i opérations qui, suivant l'ordre, seront complémentaires de la dernière, de la pénultième, de l'antépénultième,. . . des opérations qui ont servi à passer de/, à/„. La série des opérations qui conduisent de /i à/„, et celle des opérations qui ramènent de/„à / peuvent être appelées complémentaires, et les opérations d'une des séries sont respectivement complémentaires de celles de l'autre, prises en sens inverse.

Dans ce qui précède, on suppose les formes géométriques dans l'espace à trois dimensions (n° 25). Si nous voulions nous en tenir à la Géométrie plane, les opérations complémentaires se réduiraient à projeter d'un centre et à couper par une droite transversale. Dans la géométrie de la gerbe, couper par un plan et projeter d'un axe sont les opérations complémentaires.

34. Deux formes fondamentales de la même espèce sont dites projectives quand l'une peut se déduire de l'autre

20 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

moyennant un nombre fini quelconque de projections et de sections (n«' 2, 3, . . ., 7). Par exemple, si l'on a une ponctuelle u, et si on la projette d'un centre 0, on obtient un faisceau de rayons; que l'on projette celui-ci d'un autre centre 0', de manière qu'il en résulte un faisceau de plans ayant 00' pour axe, que l'on coupe ce faisceau par une droite «2, que l'on projette la ponctuelle u^ d'un axe et que l'on coupe le faisceau de plans qui en résulte par un plan, ce qui donnera un faisceau de rayons, etc., deux quelconques des formes géométriques de première espèce ainsi obtenues sont projectives par définition.

Quand on dit qu'une forme A, B, C, D,. . . est projective à une autre forme A', B', C, D', . . . , on veut entendre que, moyennant une même série d'opérations (projections ou sections), A' provient de A, B' de B, C de C, etc.

Les éléments A et A', B et B', C et C',... sont appelés correspondants.

35. D'après ce qui précède, il est facile de voir que deux formes projectives à une troisième sont projectives entre elles. En effet, en faisant d'abord les opérations qui servent à passer de la première à la troisième forme, puis celles par lesquelles on passe de la troisième à la deuxième, on aura effectué le passage de la première à la deuxième forme.